Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = k/x, ее свойства и график

                                                                 ФУНКЦИЯ , ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

В этом параграфе мы познакомимся с новой функцией — функцией Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции .

Чтобы построить график функции , поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe ) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения
постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой );

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Второй этап.

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции   его называют гиперболой.
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),

и т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции , т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки расположены по разные стороны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках , где, конечно Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы ( равно как и y = -x)

центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола
симметрична относительно начала координат.
Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симмет-
ричных относительно начала координат частей;
гиперболы в одном направлении подходит все бли-
же и ближе к оси абсцисс, а в другом направле-
нии — к оси ординат. В подобных случаях соот-
ветствующие прямые называют асимптотами.
Значит, график функции у = —, т.е. гипербола,
гипербола
ветвь
гиперболы
асимптота
имеет две асимптоты: ось х и ось у.
Если внимательно проанализировать постро-
енный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое
свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математи-
ки обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы
имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.
В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь
роны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от
нее, они симметричны относительно этой прямой. То же мож-
но сказать о точках 14; — ) и I -т ; 4 1, 18;— I и I — ; 8 I и вообще
1а; — 1 и ( —; а}, где, конечно, а Ф 0. Значит, прямая
-V
\\
V
10
\
\
1
.
ч.
1
X
о точках
у = х -— ось симметрии гиперболы у = — (равно как и у = —х).
Рис. 27
Рис. 28
Рис. 29
У
/
ч
/
2
У
\
\
i
«)
*
I"
0
/
¦ X
\
к
\
/
X
4J
i
у
у
X
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции у = — : а) на отрезке - , 4 I; б) на отрезке [- 8, - 1].
Решение, а) Построим график функции у = — и выде-
лим ту его часть, которая соответствует значениям перемен-
ной х из отрезка — , 4 (рис. 30). Для выделенной части гра-
фика находим:
J/наим. = 1 (при х = 4); уяшб = 2 (при х = - у
б) Построим график функции у = — и выделим ту его
часть, которая соответствует значениям переменной х из отрез-
ка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:
J/наим. = - 1 (при х = - 1); упаиб = - - (при х = - 8). д]
1
У'
*
1*
0
к
Т
Т
\
1/
к
\
г-
ч
1
<
>
1
-в
¦^
У,
\
\
1
\
\
0
Рис. 30
Рис. 31
Итак, мы рассмотрели функцию у = — для случая, когда
k= 1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1,
2
например k = 2. Рассмотрим функцию у = — и составим таб-
лицу значений этой функции:
29
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = 7
г/
1
2
2
1
-1
-2
-2
— 1
4
1
¦г
1
2
4
-4
1
1
2
-4
Построим точки A; 2), B; 1), (-1; -2), (-2; -1), D; ^ j,
(-; 4), (-4; ~ ^ \ (""о! ~
на координатной плоскости
(рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух
ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции у = —,
эту линию называют гиперболой.
Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например,
k = - 1. Построим график функции у = - — (здесь k = - 1).
:
>
• -j
4
9
jf
(
0
-г.
1
О
-4
I 2
¦
*
¦
4 '
X
!
У
i
л
9
1
I
0
\
\
1
\
\
—1
«)
4
I .
?
»*.
4 1
¦
X
Рис. 32
Рис. 33
В предыдущем параграфе мы отметили, что график функ-
ции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относи-
тельно оси х. В частности, это значит, что график функции
1 1
У — симметричен графику функции у = — относительно
оси абсцисс (рис. 34). Таким образом, мы получим гиперболу,
ветви которой расположены во втором и четвертом координат-
ных углах.
ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = \
Вообще, графиком функ-
k
ции у = — (k ф 0) является
гипербола, ветви которой
расположены в первом и
третьем координатных уг-
лах, если k > 0 (рис. 33), и во
втором и четвертом коор-
динатных углах, если k < О
(рис. 34). Точка @; 0) —
центр симметрии гипербо-
лы, оси координат — асимп-
тоты гиперболы.
Обычно говорят, что две
величины х и у обратно про-
порциональны, если они свя-
заны соотношением ху = k (где k — число, от-
k
личное от 0), или, что то же самое, у = —. По
k
этой причине функцию у = — называют иногда
обратной пропорциональностью (по аналогии
с функцией у - kx, которую, как вы, наверное,
помните, называют прямой пропорционально-
стью); число k — коэффициент обратной про-
порциональности.
—-
1
/
/
ll
г
\
.
0
1
\
У
У
_ 1
= -
е-"
/ -
4
Рис. 34
обратная
пропорцио-
нальность
коэффициент
обратной
пропорцио-
нальности
Свойства функции у = ~~ при k > 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опирать-
ся на ее геометрическую модель— гиперболу (см., рис. 33).
1. Область определения функции состоит из всех чисел,
кроме х = 0.
2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.
3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и @, +°°).
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции
6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и @, +оо) и
претерпевает разрыв при х = 0.
k
Свойства функции у = ~ при k < 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опирать-
ся на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 34).
1. Область определения функции состоит из всех чисел,
кроме х = 0.
2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и @, +а>).
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и @, +оо) и
претерпевает разрыв при х = 0.
4
Пример 2. Решить уравнение — = 5 - х.
1) Рассмотрим две функции:
Решение.
4
5
4
2) Построим график функции у = — — ги-
перболу (рис. 35).
3) Построим график ли-
нейной функции у = 5 - х.
Это — прямая, ее можно по-
строить по двум точкам @; 5)
и E; 0). Она изображена на
том же чертеже (рис. 35).
4) По чертежу устанавли-
ваем, что гипербола и прямая
пересекаются в точках А A; 4)
и В D; 1). Проверка показыва-
ет, что это на самом деле так.
Значит, данное уравнение
имеет два корня: 1 и 4 — это
абсциссы точек А и Б.
Ответ: 1,4.
\
>
>
и
-4
Q
о
0
л
1
У -
\
1 .
4
X
,«¦
\
ч
&
3 i
Н
Рис. 35
Пример 3. Построить и прочитать график функции
у = f{x), где
(- х2, если -2 < х < 1;
1
, если х > 1.
х
Решение. Построение графика, как обычно в таких
случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим пара-
болу у = - х2 и выделим ее часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 36).
Затем построим гиперболу у и выделим ее часть на от-
крытом луче A, +оо) (рис. 37). Наконец, оба «кусочка» изобра-
зим в одной системе координат — получим график функции
у = f(x) (рис. 38).
о
/
/
(
\
\
У
1
1 0
/i
-4
\
1
\
\
у-
\
\\
-X
2
X
——
1
/
/
0
1
;
(
\
(^
У
1
X
=1
г
X
Рис. 36
Рис. 37
Перечислим свойства функции у = f(x), т.е. прочитаем
график.
1. Область определения функции — луч [-2, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при - 2 < д; < 0 и при я > 0.
3. Функция возрастает на промежутке [-2, 0] и [1, +оо),
убывает на отрезке [0, 1].
4. Функция ограничена и
снизу и сверху.
5. унаим = - 4 (достигается
при х = - 2); 1/наи6 = 0 (дости-
гается при х = 0).
6. Функция непрерывна в
заданной области опреде-
ления. (И
В заключение рассмотрим
пример, считающийся доста-
точно сложным.
1
1
/
/
1
0
/
-4
N
¦мм
X
Рис. 38
Пример 4. Доказать, что функция у = / (я), где / (я) =
2
—, удовлетворяет соотношению
/(ж - 3) - f{x + 2) = 2,5/(х - 3)-/(* + 2).
2 2
Решение. Имеем f(x - 3) = —-г. /(* + 2) = .
Следовательно,
и
2)-2(х-3)
10
(х-3)(х
С другой стороны,
Итак,
х-3 х+2
10
2,б/(*-3)-/(*
10
(х-3)(х-
10
(х-3)(х + 2)"
Значит, f(x - 3) - f(x + 2) = 2,5/ (х - 3)-/(х + 2), что и
требовалось доказать. (И

_{Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.