Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = k/x, ее свойства и график

                                                                 ФУНКЦИЯ , ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

В этом параграфе мы познакомимся с новой функцией — функцией Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции .

Чтобы построить график функции , поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe ) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения
постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой );

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Второй этап.

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции   его называют гиперболой.
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),

и т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции , т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки расположены по разные стороны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках , где, конечно Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы ( равно как и y = -x)

 
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции а) на отрезке ; б) на отрезке [- 8, - 1].
Решение, а) Построим график функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка (рис. 30). Для выделенной части графика находим:

б) Построим график функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:

Итак, мы рассмотрели функцию для случая, когда k= 1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1, например k = 2.

Рассмотрим функцию и составим таблицу значений этой функции:

Построим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),

на координатной плоскости (рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции ,
эту линию называют гиперболой.

Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

В предыдущем параграфе мы отметили, что график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х. В частности, это значит, что график функции y = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график функции    , симетричен графику односительно оси абсцисс ( рис. 34) Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах.

Вообще, графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < О (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.

Обычно говорят, что две величины х и у обратно пропорциональны, если они связаны соотношением ху = k (где k — число, отличное от 0), или, что то же самое, . По этой причине функцию называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией у - kx, которую, как вы, наверное,
помните, называют прямой пропорциональностью); число k — коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции при k > 0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель— гиперболу (см., рис. 33).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.

3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и (0, +°°).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.

Свойства функции при k < 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 34).

1. Область определения функции состоит из всех чисел,
кроме х = 0.
2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и @, +а>).
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и @, +оо) и
претерпевает разрыв при х = 0.
4
Пример 2. Решить уравнение — = 5 - х.
1) Рассмотрим две функции:
Решение.
4
5
4
2) Построим график функции у = — — ги-
перболу (рис. 35).
3) Построим график ли-
нейной функции у = 5 - х.
Это — прямая, ее можно по-
строить по двум точкам @; 5)
и E; 0). Она изображена на
том же чертеже (рис. 35).
4) По чертежу устанавли-
ваем, что гипербола и прямая
пересекаются в точках А A; 4)
и В D; 1). Проверка показыва-
ет, что это на самом деле так.
Значит, данное уравнение
имеет два корня: 1 и 4 — это
абсциссы точек А и Б.
Ответ: 1,4.
\
>
>
и
-4
Q
о
0
л
1
У -
\
1 .
4
X
,«¦
\
ч
&
3 i
Н
Рис. 35
Пример 3. Построить и прочитать график функции
у = f{x), где
(- х2, если -2 < х < 1;
1
, если х > 1.
х
Решение. Построение графика, как обычно в таких
случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим пара-
болу у = - х2 и выделим ее часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 36).
Затем построим гиперболу у и выделим ее часть на от-
крытом луче A, +оо) (рис. 37). Наконец, оба «кусочка» изобра-
зим в одной системе координат — получим график функции
у = f(x) (рис. 38).
о
/
/
(
\
\
У
1
1 0
/i
-4
\
1
\
\
у-
\
\\
-X
2
X
——
1
/
/
0
1
;
(
\
(^
У
1
X
=1
г
X
Рис. 36
Рис. 37
Перечислим свойства функции у = f(x), т.е. прочитаем
график.
1. Область определения функции — луч [-2, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при - 2 < д; < 0 и при я > 0.
3. Функция возрастает на промежутке [-2, 0] и [1, +оо),
убывает на отрезке [0, 1].
4. Функция ограничена и
снизу и сверху.
5. унаим = - 4 (достигается
при х = - 2); 1/наи6 = 0 (дости-
гается при х = 0).
6. Функция непрерывна в
заданной области опреде-
ления. (И
В заключение рассмотрим
пример, считающийся доста-
точно сложным.
1
1
/
/
1
0
/
-4
N
¦мм
X
Рис. 38
Пример 4. Доказать, что функция у = / (я), где / (я) =
2
—, удовлетворяет соотношению
/(ж - 3) - f{x + 2) = 2,5/(х - 3)-/(* + 2).
2 2
Решение. Имеем f(x - 3) = —-г. /(* + 2) = .
Следовательно,
и
2)-2(х-3)
10
(х-3)(х
С другой стороны,
Итак,
х-3 х+2
10
2,б/(*-3)-/(*
10
(х-3)(х-
10
(х-3)(х + 2)"
Значит, f(x - 3) - f(x + 2) = 2,5/ (х - 3)-/(х + 2), что и
требовалось доказать. (И

_{Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.