KNOWLEDGE HYPERMARKET


Функция у = k/x, ее свойства и график

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = k/x, ее свойства и график


                                                                 ФУНКЦИЯ 11-06-110.jpg, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК


В этом параграфе мы познакомимся с новой функцией — функцией 11-06-110.jpg Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции 11-06-111.jpg.

Чтобы построить график функции 11-06-111.jpg, поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe 11-06-111.jpg) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения
постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.

Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой 11-06-111.jpg );

11-06-112.jpg

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

11-06-113.jpg

Второй этап.

11-06-114.jpg

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

11-06-115.jpg


А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции 11-06-111.jpg  его называют гиперболой.
Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.

Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),

11-06-116.jpg и т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.

Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

11-06-117.jpg

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.

Значит, график функции 11-06-111.jpg, т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.

Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.

В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки 11-06-118.jpg расположены по разные стороны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках 11-06-119.jpg , где, конечно 11-06-120.jpg Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы 11-06-111.jpg ( равно как и y = -x)


11-06-121.jpg

 
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 11-06-111.jpg а) на отрезке 11-06-122.jpg; б) на отрезке [- 8, - 1].
Решение, а) Построим график функции 11-06-111.jpg и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка 11-06-122.jpg (рис. 30). Для выделенной части графика находим:

11-06-123.jpg

б) Построим график функции 11-06-111.jpg и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:

11-06-124.jpg


11-06-125.jpg


Итак, мы рассмотрели функцию 11-06-126.jpg для случая, когда k= 1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1, например k = 2.

Рассмотрим функцию 11-06-127.jpg и составим таблицу значений этой функции:

11-06-128.jpg


Построим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1), 11-06-129.jpg

11-06-130.jpg

на координатной плоскости (рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции 11-06-111.jpg,
эту линию называют гиперболой.

Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции 11-06-111.jpg (здесь k = - 1).

11-06-131.jpg

В предыдущем параграфе мы отметили, что график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х. В частности, это значит, что график функции y = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график функции  11-06-132.jpg  , симетричен графику 11-06-111.jpg односительно оси абсцисс ( рис. 34) Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах.

11-06-133.jpg

Вообще, графиком функции 11-06-134.jpg является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < О (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.

Обычно говорят, что две величины х и у обратно пропорциональны, если они связаны соотношением ху = k (где k — число, отличное от 0), или, что то же самое, 11-06-135.jpg. По этой причине функцию 11-06-135.jpg называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией у - kx, которую, как вы, наверное,
помните, называют прямой пропорциональностью); число k — коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции 11-06-135.jpg при k > 0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель— гиперболу (см., рис. 33).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.

3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и (0, +°°).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.

Свойства функции 11-06-135.jpg при k < 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 34).

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.

3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.

Пример 2. Решить уравнение 11-06-136.jpg
1) Рассмотрим две функции:

Решение.
2) Построим график функции 11-06-137.jpg и y = 5 -x гиперболу (рис. 35).
3) Построим график линейной функции у = 5 - х.
Это — прямая, ее можно по-
строить по двум точкам @; 5)
и E; 0). Она изображена на
том же чертеже (рис. 35).
4) По чертежу устанавли-
ваем, что гипербола и прямая
пересекаются в точках А A; 4)
и В D; 1). Проверка показыва-
ет, что это на самом деле так.
Значит, данное уравнение
имеет два корня: 1 и 4 — это
абсциссы точек А и Б.
Ответ: 1,4.
\
>
>
и
-4
Q
о
0
л
1
У -
\
1 .
4
X
,«¦
\
ч
&
3 i
Н
Рис. 35
Пример 3. Построить и прочитать график функции
у = f{x), где
(- х2, если -2 < х < 1;
1
, если х > 1.
х
Решение. Построение графика, как обычно в таких
случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим пара-
болу у = - х2 и выделим ее часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 36).
Затем построим гиперболу у и выделим ее часть на от-
крытом луче A, +оо) (рис. 37). Наконец, оба «кусочка» изобра-
зим в одной системе координат — получим график функции
у = f(x) (рис. 38).
о
/
/
(
\
\
У
1
1 0
/i
-4
\
1
\
\
у-
\
\\
-X
2
X
——
1
/
/
0
1
;
(
\
(^
У
1
X
=1
г
X
Рис. 36
Рис. 37
Перечислим свойства функции у = f(x), т.е. прочитаем
график.
1. Область определения функции — луч [-2, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при - 2 < д; < 0 и при я > 0.
3. Функция возрастает на промежутке [-2, 0] и [1, +оо),
убывает на отрезке [0, 1].
4. Функция ограничена и
снизу и сверху.
5. унаим = - 4 (достигается
при х = - 2); 1/наи6 = 0 (дости-
гается при х = 0).
6. Функция непрерывна в
заданной области опреде-
ления. (И
В заключение рассмотрим
пример, считающийся доста-
точно сложным.
1
1
/
/
1
0
/
-4
N
¦мм
X
Рис. 38
Пример 4. Доказать, что функция у = / (я), где / (я) =
2
—, удовлетворяет соотношению
/(ж - 3) - f{x + 2) = 2,5/(х - 3)-/(* + 2).
2 2
Решение. Имеем f(x - 3) = —-г. /(* + 2) = .
Следовательно,
и
2)-2(х-3)
10
(х-3)(х
С другой стороны,
Итак,
х-3 х+2
10
2,б/(*-3)-/(*
10
(х-3)(х-
10
(х-3)(х + 2)"
Значит, f(x - 3) - f(x + 2) = 2,5/ (х - 3)-/(х + 2), что и
требовалось доказать. (И









Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.