Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

                                ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Рассмотрим уравнение х² = 4. Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим параболу у = х² и прямую у = 4 (рис. 74). Они пересекаются в двух точках А (- 2; 4) и B(2; 4). Абсциссы точек А и В являются корнями уравнения х² = 4. Итак, х₁ = - 2, х₂ = 2.

Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х² = 9 (см. рис. 74): x₁ = - 3, х₂ = 3.

А теперь попробуем решить уравнение х² = 5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 75. Ясно, что это уравнение имеет два корня х₁ и х₂, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (х₁ — - х₂)- Но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнения были найдены без труда (причем их можно было найти и не пользуясь графиками), с уравнением х² = 5 дело обстоит не так: по чертежу мы не можем указать значения корней, можем только установить, что один корень располагается чуть левее точки - 2, а второй — чуть правее

точки 2.

Что же это за число (точка), которое располагается чуть правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, так как З² = 9, т. е. получается больше, чем нужно (9 > 5).

Значит, интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рациональных чисел, например и т. д. Может быть, среди них найдется такая дробь , что ? Тогда никаких проблем с уравнением х² — 5 у нас не будет, мы сможем написать, что

Но тут нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби , для которой выполняется равенство
Доказательство сформулированного утверждения довольно сложно. Тем не менее мы его приводим, поскольку оно красиво и поучительно, очень полезно попытаться его понять.

Предположим, что имеется такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство . Тогда , т. е. m² = 5n². Последнее равенство означает, что натуральное число m² делится без остатка на 5 (в частном получится п2).

Следовательно, число m² оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и натуральное число m оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, т.е. число m делится на 5 без остатка. Иными словами, если число т разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число k. Это значит,
что m = 5k.
А теперь смотрите:
m² = 5n²;
Подставим 5k вместо m в первое равенство:

(5k)² = 5n², т. е. 25k² = 5n² или n² = 5k².
Последнее равенство означает, что число. 5n² делится на 5 без остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что и число n делится на 5 без остатка.
Итак, m делится на 5, n делится на 5, значит, дробь можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь   несократимая. В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы пришли к абсурду или, как чаще говорят математики, получили противоречие"! Да потому, что неверной была исходная посылка, будто бы существует такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство
Отсюда делаем вывод: такой дроби нет.
Метод доказательства, который мы применили только что, называют в математике методом доказательства от противного. Суть его в следующем. Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: «предположим противное» — не в смысле «неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется").
Если в результате правельных рассуждений приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать.

Итак, располагая только рациональными числами
(а других чисел мы с вами пока не знаем), уравнение х2 = 5 мы
решить не сможем.
Встретившись впервые с
подобной ситуацией, матема-
тики поняли, что надо приду-
мать способ ее описания на
математическом языке. Они
ввели в рассмотрение новый
символ V , который назвали
квадратным корнем, и с по-
мощью этого символа корни
уравнения х
так: хх =
ется: «корень квадратный из
1
\
\\У
\
= х
L-
V
!\
\\
i
i
ft
\
\
У .
ч
а
\
0
_
|
/
/
/!
/
/
/
¦
Га
У
= а
2 = 5 записали
Х2 ~ ~ ft> (чита-
пяти»). Теперь для любого
ис> уравнения вида х2 — а, где а > О,
можно найти корни — ими являются числа Jo, и -Jo,
(рис. 76).
Еще раэ подчеркнем, что число ^5 не целое и не дробь.
Значит, у[Ь — не рациональное число, это
число новой природы, о таких числах мы
специально поговорим позднее, в главе 5.
Пока лишь отметим, что новое число ^5 на-
ходится между числами 2 и 3, поскольку 22 = 4, а это меньше,
чем 5; З2 = 9, а это больше, чем 5. Можно уточнить:
2,2 < Л <2,3.
В самом деле, 2,22 = 4,84 < 5, а 2,32 = 5,29 > 5. Можно еще
уточнить:
2,23 < ^5 < 2,24;
действительно, 2,232 = 4,9729 < 5, а 2,242 = 5,0176 > 5.
На практике обычно полагают, что число ^5 равно 2,23
или оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а при-
ближенное равенство, для обозначения которого используют
символ ».
Итак,
^5 ~ 2,23 или ft * 2,24.
обратите
внимание
Обсуждая решение уравнения х2 — а, мы
столкнулись с довольно типичным для мате-
матики положением дел. Попадая в нестан-
дартную, нештатную (как любят выражаться
космонавты) ситуацию и не найдя выхода из
нее с помощью известных средств, математики придумывают
для впервые встретившейся им математической модели новый
термин и новое обозначение (новый символ); иными словами,
они вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого
понятия. Тем самым новое понятие и его обозначение
становятся достоянием математического языка. Мы действо-
вали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а»,
ввели символ ^а для его обозначения, а чуть позднее изучим
свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если а > 0,
то ^ja — положительное число, удовлетворяющее уравнению
х2 = а. Иными словами, ^а — это такое положительное число,
при возведении которого в квадрат получается число а.
Поскольку уравнение х2 = 0 имеет корень х = 0, условились
считать, что ^0 = 0.
Теперь мы готовы дать строгое определение.
Определение. Квадратным корнем из неотри-
цательного числа а называют такое неотрица-
тельное число, квадрат которого равен а. Это
число обозначают ^[а , число а при этом назы-
вают подкоренным числом.
Итак, если а — неотрицательное число, то:
J = д- ]
Если а < О, то уравнение х2 = а не имеет корней, говорить в
этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Таким образом, выражение \fa имеет смысл лишь при а > 0.
к Говорят, что Jo. = Ъ nb2 = а — одна и та же
L математическая модель (одна и та же
Ш зависимость между неотрицательными числами
* а и Ь), но только вторая описана на более простом
языке, чем первая (использует более простые
символы).
Операцию нахождения квадратного корня
из неотрицательного числа называют
извлечением квадратного корня. Эта операция
является обратной по отношению к возведению
в квадрат. Сравните:
квадратный
корень
подкоренное
число
извлечение
квадратного
корня
Возведение в квадрат
52 = 25
102 = 100
0.32 = 0,09
Извлечение квадратного корня
,/25 =5
л/ioo =ю
VWJ9 =0,3
обратите
внимание
Еще раз обратите внимание: в таблице
фигурируют только положительные числа,
поскольку это оговорено в определении квад-
ратного корня. И хотя, например, (- 5J = 25 —
верное равенство, перейти от него к записи
с использованием квадратного корня (т.е. написать, что .^25 = -5)
нельзя. По определению, .^25 — положительное число, зна-
чит, >/25 = 5 (а не - 5).
Часто говорят не «квадратный корень», а «арифметиче-
ский квадратный корень». Термин «арифметический» мы
опускаем для краткости.
e) 7961;
Пример 1. Вычислить:
а) 749 ; в) ТО ;
Решение.
а) 749 = 7, поскольку 7 > 0 и 72 = 49.
б) 70,25 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,52 = 0,25.
в) ТО = 0.
г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем ука-
зать точное значение числа 7^7 . Ясно лишь, что оно больше,
чем 4, но меньше, чем 5, поскольку 42 = 16 (это меньше, чем
17), а 52 = 25 (это больше, чем 17).
Впрочем, приближенное значение числа 7^7 можно найти
с помощью микрокалькулятора, который содержит операцию
извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123.
Итак, 717 * 4,123.
Число 7^7 , как и рассмотренное выше
число 75 » не является рациональным.
обратите
внимание
д) Вычислить 7~4 нельзя, поскольку квад-
ратный корень из отрицательного числа не существует; запись
J-4 лишена смысла. Предложенное задание некорректно.
е) ^/961 = 31, так как 31 > 0 и 312 = 961. В подобных
случаях приходится использовать таблицу квадратов
натуральных чисел или микрокалькулятор.
ж) .^5625 = 75, поскольку 75 > 0 и 752 = 5625. <Ш
В простейших случаях значение квадратного корня
вычисляется сразу: дД = 1, ^/4 = 2, ^16 = 4, ^/0,01 = 0,1 и
т. д. В более сложных случаях приходится использовать
таблицу квадратов чисел или проводить вычисления с
помощью микрокалькулятора. А как быть, если под рукой нет
ни таблицы, ни калькулятора? Ответим на этот вопрос, решив
следующий пример.
Пример 2. Вычислить ^2809 .
Решение.
Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится
50 с «хвостиком». В самом деле, 502 = 2500, а 602 = 3600, число
же 2809 находится между числами 2500 и 3600.
Второй этап. Найдем «хвостик», т.е. последнюю циф-
ру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлека-
ется, то в ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55,
56, 57, 58 или 59. Проверить надо только два числа: 53 и
57, поскольку только они при возведении в квадрат дадут
в результате четырехзначное число, оканчивающееся циф-
рой 9, т. е. той же цифрой, которой оканчивается число
2809.
Имеем 532 = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло,
мы сразу попали в «яблочко»). Значит, J280!
53.
Ответ:
Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника
равны 1 см и 2 см. Чему равна гипотенуза треугольника
известной из геометрии теоремой
Пифагора: сумма квадратов длин
катетов прямоугольного тре-
угольника равна квадрату длины
его гипотенузы, т. е. а2 + Ъ2 = с2,
где а, Ъ — катеты, с — гипоте-
нуза прямоугольного треуголь-
ника. Значит,
2
Рис. 77
с-
Ответ:
см.
Этот пример показывает, что введение квадратных корней —
не прихоть математиков, а объективная необходимость: в
реальной жизни встречаются ситуации, математические
модели которых содержат операцию извлечения квадратного
корня. Пожалуй, самая важная из таких ситуаций связана с
решением квадратных уравнений. До сих пор, встречаясь с
квадратными уравнениями ах2 + Ъх + с = 0, мы либо раскла-
дывали левую часть на множители (что получалось далеко не
всегда), либо использовали графические методы (что тоже не
очень надежно, хотя и красиво). На самом деле для отыскания
корней хх и хг квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0
в математике используются формулы
содержащие, как видно, знак квадратного
корня. Эти формулы применяются на практике
следующим образом. Пусть, например, надо решить уравнение
2х2 + Ъх - 7 = 0. Здесь а = 2, Ъ = 5, с = - 7. Следовательно,
Ъ2 - Аас = 52 - 4 • 2 • (- 7) = 81. Далее находим ^81 = 9. Значит,
-5 + 9
2-2
-5-9
Выше мы отметили, что ^5 — не рациональное число.
Математики такие числа называют иррациональными. Ирра-
циональным является любое число вида Jn , если квадратный
корень не извлекается. Например, JH, ,JVf, -/20 и т.д. —
иррациональные числа. В главе 5 мы более подробно поговорим
о рациональных и иррациональных числах. Рациональные и
иррациональные числа вместе составляют множество
действительных чисел, т.е. множество всех тех чисел,
которыми мы оперируем в реальной жизни (в действитель-
ности). Например, -5; 0; 1,3; 3,25; ^5,2 + ,Д , 1 - JTJ — все
это действительные числа.
Подобно тому, как выше мы определили
понятие квадратного корня, можно определить
и понятие кубического корня: кубическим
корнем из неотрицательного числа а называют
такое неотрицательное число, куб которого
равен а. Иными словами, равенство %fa = Ъ
означает, что Ь3 = а.
Например, ^/27 = 3, так как З3 = 27; ^/б4 = 4, так как 43 = 64;
^/0,001 = 0,1, так как ОД3 = 0,001.
Более того, в математике введено понятие корня п-й
степени (л = 2, 3, 4, ...) из неотрицательного числа: если
а *> 0, то запись ц[а = Ъ означает, что Ъ > 0 и b" = а. Например,
^/81 = 3, так как 3 > 0 и З4 = 81; ^/32 = 2, так как 2 > 0 и 25 = 32.
Все это мы будем изучать в курсе алгебры 11-го класса.
кубический
корень




89




85

_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 8 класса скачать, календарно-тематическое планирование}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.