Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений

                                           ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0.
Применим к квадратному трехчлену ах² + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах² + bх + с является парабола.
Имеем

Обычно выражение b² - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

Значит, квадратное уравнение ах² + их + с = О можно переписать в виде

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение 2x² + 4х + 7 = 0.
Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7,
D = b²-4ac = 4². 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид

  — единственный корень уравнения.

Замечание 1. Помните ли вы, что х = - — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах² + их + с? Почему именно это
значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах² + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции является парабола с вершиной в точке (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

Пример 2. Решить уравнение 4x² - 20x + 25 = 0.
Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b² - 4ас = (-20)² - 4 • 4 • 25 = 400 - 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

Ответ: 2,5.

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х² - 20х +25 — полный квадрат: 4х² - 20х + 25 = (2х - 5)².
Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х - 5)² = 0, значит, 2х - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то

ах² + bх + с = — это мы отметили ранее в замечании 1.
Если D > 0, то квадратное уравнение ах² + bх +  с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам

Доказательство. Перепишем квадратное уравнение ах² + ^Ьх + с = 0 в виде (1)

Положим
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3. В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое
понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше-
ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3. Решить уравнение Зх2 + 8х - 11 = 0.
Решение. Здесь а = 3, Ъ = 8, с = - 11,
D = Ь2 - 4ас = 82 - 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196.
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение
имеет два корня. Эти корни находятся по формулам C)
-b + JP -8 + ^196 -8 + 14
1
2а
-8->/i96 -8-14
П
2а
2
Ответ: 1; -3 , •
Фактически мы с вами выработали следующее правило:
Правило решения уравнения
ах2 + Ъх + с = 0
1. Вычислить дискриминант D по формуле
D = b2- 4ac.
2. Если D < О, то квадратное уравнение не
имеет корней.
3. Если D = О, то квадратное уравнение име-
ет один корень:
__Ъ_
4. Если D > О, то квадратное уравнение
имеет два корня:
х, =
2а
-ь-л/д
2а
Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и
к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные
квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их
удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.
Пример 4. Решить уравнения:
а) х2 + Зх - 5 = 0; б) - 9*2 + 6х - 1 = 0; в) 2х2-х + 3,5 = 0.
Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, Ъ = 3, с = - 5,
D = Ъ2 - 4ас = З2 - 4 • 1 • (- 5) = 9 + 20 = 29.
Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два
корня. Эти корни находим по формулам C)
-b+J5 -3+V29
1 2а 2 '
хо =
-3-V29
2а 2
б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с
квадратными уравнениями, у которых старший
коэффициент положителен. Поэтому сначала
умножим обе части уравнения на -1, получим
9*2 - 6* + 1 = 0.
Здесь а = 9, Ь = -6, с = 1, D = Ь2 - Аас = 36 - 36 = 0.
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один
b
корень. Этот корень находится по формуле х = - —. Значит,
6 1.
Х= 2^9 ~3"
Это уравнение можно было решить по-другому: так как
Эх2 - 6* + 1 = (Зх - IJ, то получаем уравнение (Зх - IJ = 0,
откуда находим Зх - 1 = 0, т. е. х = - .
в) Здесь а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = Ъ2 - 4ас = 1 - 4 • 2 • 3,5 =
= 1 - 28 = - 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не
имеет корней. <Ц
Математики — люди практичные, экономные. Зачем, гово-
рят они, пользоваться таким длинным правилом решения квад-
ратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:
х
1.2
2а
D)
Если окажется, что дискриминант D = Ь2 - 4ас — отрица-
тельное число, то записанная формула не имеет смысла (под
знаком квадратного корня находится отрицательное число),
значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен
нулю, то получаем
_ -b±yfd __Ъ_
Xl-2 2а 2а'
т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в
= х2
= - —).
этом случае имеет два одинаковых корня: хх = х2
Наконец, если окажется, что Ъ2 - 4ас > 0, то получаются два
корня х1и х2, которые вычисляются по тем же формулам C), что
указаны выше.
Само число уЬ2-4ас в этом случае положительно (как
всякий квадратный корень из положительного числа), а двой-
ной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании
х± ) это положительное число прибавляется к числу - Ъ, а в
другом случае (при отыскании х2) это положительное число вы-
читается из числа - Ъ.
У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное
уравнение подробно, используя сформулированное выше прави-
ло; хотите — запишите сразу формулу D) и с ее помощью делайте
необходимые выводы.
Пример 5. Решить уравнения:
2 5 7
б) З*2 - 0,2* + 2,77 = 0.
5 _7_ _
С. 1 О "»
Решение, а) Конечно, можно использовать формулы D)
2 5 7
или C), учитывая, что в данном случае а = ^ , b = ё . с = - — . Но
о О 12
зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное,
приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся
от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравне-
ния на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, слу-
жащих коэффициентами уравнения. Получим
откуда 8х2 + 10* - 7 = 0.
А теперь воспользуемся формулой D)
_ -10±N/l02-4.8(-7)
,и далее
•"-1,2
_ -10 + ^100 + 224 _ -lOf^/324 _ -10±18
16
-10+18 1
Значит, хг= ——— = ^, Х2 =
16
-10-18
16
7
4*
16 2' 2 16
б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами:
а = 3, Ъ = - 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100,
тогда получим уравнение с целыми коэффициентами:
300*2 - 20* + 277 = 0.
Далее воспользуемся формулой D):
_ 20±7202-4-300-277
Xl'2 2-300 "
Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкорен-
ное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не
имеет корней. <Ц
Пример 6. Решить уравнение 5*2 - 2 <Д5 * + 1 = 0.
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера,
предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной
формуле D). Имеем а = 5, Ъ = -2^15, с = 1, D = Ъ2 - 4ас =
= (- 2 д/Гб J - 4 • 5 • 1 = 60 - 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное
уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам C)
2а
2-5
10
10
х,=
2а
10
127
Пример 7. Решить уравнение
х2 - Bр
(р2+р-2) =
Решение. Это квадратное уравнение отли-
чается от всех рассмотренных до сих пор квадрат-
ных уравнений тем, что в роли коэффициентов
выступают не конкретные числа, а буквенные
выражения. Такие уравнения называют уравне-
ниями с буквенными коэффициентами или
уравнениями с параметрами. В данном случае
параметр (буква) р входит в состав второго ко-
эффициента и свободного члена уравнения.
Найдем дискриминант:
D = Bр + IJ - 4 • 1 • (р2 +р - 2) = Dр2 + 4р + 1) - Dр2 + 4р - 8) = 9.
параметр
уравнение
с параметром
Далее,
2(р + 2)
2р+1-3
О т в е т: р + 2; р - 1.
Пример 8. Решить уравнение
р*2 + A - р) х - 1 = 0.
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отли-
чие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по
формулам D) или C). Дело в том, что указанные формулы
применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение
мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда
уравнение примет вид
О-*2+ A-0)*- 1 = 0,
т. е. х - 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно,
что р Ф 0, то можно применять формулы корней квадратного
уравнения:
•"-1,2
128
2р
р-1±(р + 1)
4.21.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1
2р
_ 2р _ р-\-(р + \) -2
2р ' 2 2р 2р
Ответ: если р = 0, то х = 1; если р + 0, то хг = 1, х2 = - — .




125

_{Учебники и книги по всему предметам, домашняя работа, онлайн библиотеки книжек, планы конспектов уроков по математике, рефераты и конспекты уроков по математике для 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.