Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Модуль действительного числа
МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
1.Модуль действительного числа
и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х. Короче это записывают так:
![14-06-125.jpg](/images/f/f3/14-06-125.jpg)
Например,
![14-06-126.jpg](/images/c/c4/14-06-126.jpg)
На практике используют различные свойства модулей, например: 1. |а| 0. 2.|аb| =|a| |b|.
![14-06-127.jpg](/images/b/b2/14-06-127.jpg)
2. Геометрический смысл модуля действительного числа
Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.
![14-06-129.jpg](/images/2/29/14-06-129.jpg)
Все три случая охватываются одной формулой:
![14-06-130.jpg](/images/b/b4/14-06-130.jpg)
Пример 1. Решить уравнения: а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0. Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.
б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.
![14-06-131.jpg](/images/1/17/14-06-131.jpg)
в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'. г) Для уравнения
|х - | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - = 0, т. е. х = .
Пример 2. Решить уравнения: а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.
Р е ш е н и е. а) Имеем
Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду 21 х - 31 = 8, откуда получаем | х - 31 = 4. Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометриче- ский язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию р (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7. б) Имеем _ 5 ~ 3 -2,7 0 2,7 Рис. 105 х -1 Рис. 106 12* Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду х- - 6, откуда получаем х- - Переведем аналитическую модель 5 х - = 2 на геометриче- ский язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию р I х, - I = 2. Значит, 5 ,2 они удалены от точки - , т.е. от точки 1 - , на расстояние, равное 2. о 6 1 Л 2 Ъ 3 33 Рис. 107 > 12 х Это — точки -- и 3- (рис. 107). Итак, о о 1 2 уравнение имеет два корня: - - и 3 - . в) Для уравнения 14х + 11 = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число. (И 3. Функция у = | х | Для любого действительного числа х можно вычис- лить | х |, т. е. можно говорить о функции у = \ х |. Воспользовав- шись соотношениями A) из п.1, вместо у = \ х | запишем х, если х > 0; -х, если х < 0. Построение графика, как обычно в таких случаях, осущест- вим «по кусочкам». Сначала построим прямую у - х и выделим ее часть на луче [0, -Н») (рис. 108). Затем построим прямую у = -х и выделим ее часть на открытом луче (-<», 0) (рис. 109). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат; получим график функции у = | х \ (рис. 110). Пример 3. Построить график функции у = \ х + 2 |. Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111). / A У A A A 0 / A y= A • -X _ X \ \ \ 0 \ \ y= -X \ X Рис. 108 Рис. 109 \ \ \ У t \ 0 i A A / y- A - X A X \ \ -А \ и н \ -2 / У ( / 0 А / > / ^-- X Рис. 110 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 4. Тождество yja2 = | а \ Мы знаем, что если а > 0, то у а2 =а.А как быть, если /—2 а < 0? Написать у а = а в этом случае нельзя, ведь а < 0 и полу- I—о" чится, что у]а < 0, а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным. Чему же равно выражение >/а2 при а < 0? По вопрос определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а2. Таким числом будет - а. Смотрите: 1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число); 2)(-аJ=а2. Итак, Г а, если а > 0; [-а, если а < 0. Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в пра- вой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяет- ся модуль числа а: а, если а > 0; [-а, еслиа<0. а2 = а = I—2 Значит, у а и | а \ — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество: а В роли а может выступать любое числовое или алгебраиче- ское выражение. Пример 4. Упростить выражение ^/(а-1J , если: а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0. Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество а) Если а - 1 > 0, то | а - 11 = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем ^/(а-1J = а - 1. б) Если а - 1 <0, то|а - 11 = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем y(a-lJ = 1 - а. в Пример 5. Упростить выражение ^ • у]32а2 , если a < 0. Решение. Имеем \.Jtf _ ф ¦ \а\ _ 2^2-И ^W32a - 2а 2а а " Так как по условию а<0, то |а| = -а. В результате по- лучаем 2/2 -lal 2i2-(-a) ¦-2^/2. Ответ: -2^2 . Пример 6. Вычислить Решение. Имеем JL/3-2J - 1 Осталось, как обычно говорят, «раскрыть знаки модулей». Воспользуемся тем, что 1 < ,/3 < 2. Значит, ,/3 - 2 < 0, а^/З - 1 > 0. - 11 = >/3 - 1. Но тогда В итоге получаем -(>/3 -2) = 2-^, - 1 = Ответ: 1.
Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|