Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Модуль действительного числа

                                        МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

1.Модуль действительного числа

и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо
ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.
Короче это записывают так:

Например,

На практике используют различные свойства модулей, например:
1. |а| 0.
2.|аb| =|a| |b|.


2. Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если
b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.

Все три случая охватываются одной формулой:

Пример 1. Решить уравнения:
а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0.
Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет
два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.
г) Для уравнения

|х - | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - = 0, т. е. х = .

Пример 2. Решить уравнения:
а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Р е ш е н и е. а) Имеем

Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду
21 х - 31 = 8, откуда получаем | х - 31 = 4.
Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометриче-
ский язык: нам нужно найти на координатной прямой такие
точки х, которые удовлетворяют условию р (х, 3) = 4, т. е.
удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7
(рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.
б) Имеем
_ 5
~ 3
-2,7 0 2,7
Рис. 105
х
-1
Рис. 106
12*
Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду
х- -
6, откуда получаем
х- -
Переведем аналитическую модель
5
х -
= 2 на геометриче-
ский язык: нам нужно найти на координатной прямой такие
точки х, которые удовлетворяют условию р I х, - I = 2. Значит,
5 ,2
они удалены от точки - , т.е. от точки 1 - , на расстояние, равное 2.
о 6
1 Л 2
Ъ 3 33
Рис. 107
> 12
х Это — точки -- и 3- (рис. 107). Итак,
о о
1 2
уравнение имеет два корня: - - и 3 - .
в) Для уравнения 14х + 11 = - 2 никаких преобразований
делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой
его части содержится неотрицательное выражение, а в правой —
отрицательное число. (И
3. Функция у = | х |
Для любого действительного числа х можно вычис-
лить | х |, т. е. можно говорить о функции у = \ х |. Воспользовав-
шись соотношениями A) из п.1, вместо у = \ х | запишем
х, если х > 0;
-х, если х < 0.
Построение графика, как обычно в таких случаях, осущест-
вим «по кусочкам». Сначала построим прямую у - х и выделим
ее часть на луче [0, -Н») (рис. 108). Затем построим прямую у = -х
и выделим ее часть на открытом луче (-<», 0) (рис. 109). Наконец,
оба «кусочка» изобразим в одной системе координат; получим
график функции у = | х \ (рис. 110).
Пример 3. Построить график функции у = \ х + 2 |.
Решение. График этой функции получается из графика
функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба
влево (рис. 111).
/
A
У
A
A
A
0
/
A
y=
A
•
-X
_
X
\
\
\
0
\
\
y=
-X
\
X
Рис. 108
Рис. 109
\
\
\
У
t
\
0
i
A
A
/
y-
A
- X
A
X
\
\
-А
\
и
н
\
-2
/
У
(
/
0
А
/
>
/
^--
X
Рис. 110
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4. Тождество yja2 = | а \
Мы знаем, что если а > 0, то у а2 =а.А как быть, если
/—2
а < 0? Написать у а = а в этом случае нельзя, ведь а < 0 и полу-
I—о"
чится, что у]а < 0, а это неверно, так как значение квадратного
корня не может быть отрицательным.
Чему же равно выражение >/а2 при а < 0? По
вопрос
определению квадратного корня в ответе должно
получиться такое число, которое, во-первых,
положительно и, во-вторых, при возведении в
квадрат дает подкоренное число, т. е. а2. Таким числом будет
- а. Смотрите:
1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число,
значит, - а — положительное число);
2)(-аJ=а2.
Итак,
Г а, если а > 0;
[-а, если а < 0.
Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в пра-
вой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяет-
ся модуль числа а:
а, если а > 0;
[-а, еслиа<0.
а2 =
а =
I—2
Значит, у а и | а \ — одно и то же. Тем самым
мы доказали важное тождество:
а
В роли а может выступать любое числовое или алгебраиче-
ское выражение.
Пример 4. Упростить выражение ^/(а-1J , если:
а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Решение. Как мы только что установили, справедливо
тождество
а) Если а - 1 > 0, то | а - 11 = а - 1. Таким образом, в этом
случае получаем ^/(а-1J = а - 1.
б) Если а - 1 <0, то|а - 11 = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом
случае получаем y(a-lJ = 1 - а. в
Пример 5. Упростить выражение ^ • у]32а2 , если a < 0.
Решение. Имеем
\.Jtf _ ф ¦ \а\ _ 2^2-И
^W32a - 2а 2а а "
Так как по условию а<0, то |а| = -а. В результате по-
лучаем
2/2 -lal 2i2-(-a)
¦-2^/2.
Ответ: -2^2 .
Пример 6. Вычислить
Решение. Имеем
JL/3-2J
- 1
Осталось, как обычно говорят, «раскрыть знаки модулей».
Воспользуемся тем, что 1 < ,/3 < 2. Значит, ,/3 - 2 < 0, а^/З - 1 > 0.
- 11 = >/3 - 1.
Но тогда
В итоге получаем
-(>/3 -2) = 2-^,
- 1 =
Ответ: 1.

_{Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.