Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Степень с отрицательным целым показателем

                            СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Вы умеете вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например,

0,2х = 0,2; З² = 3-3 = 9; 4³ = 4•4•4 = 64; I⁴ = 1•1 • 1•1 = 1;
(-2)⁵ = (-2)•(-2)•(-2)•(-2)•(-2) = -32;
0⁶ = 0•0•0•0•0•0 = 0 и т. д.
Но математики на этом не остановились.
Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с понятием степени с нулевым показателем: если , то а 0 = 1.
Например, 5,7° = 1; (- 3)° = 1 и т. д.
Постепенно продвигаясь в изучении математического языка, мы с вами поймем, что означают в математике символы и т. д. Частично это
мы сделаем уже в настоящем параграфе, а частично — в курсе алгебры 11-го класса.
Зададим вопрос: если уж вводить символ 2^-3, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались; в частности,
чтобы выполнялось следующее равенство:

2^-з•2^з = 2^о (подробнее: 2^-з•2^з = 2^о = 2^{-3 + 3} - 2°).
Но 2° = 1, а тогда из равенства 2^-з•2^з = = 1 получаем, что . Значит, появились основания определить .
Подобные рассуждения и позволили ввести следующее определение.
Определение. Если n — натуральное число и , то под а ^-n понимают :

Например, 3 = з2 ~ 9' 71 7
Естественно, что записанную выше формулу при необходи-
мости используют справа налево, например:
1 _ с-1 — = — = S�
5 = 5 ' 81 ~ З4
Отметим одно важное тождество, которое часто используется
на практике:
Ъ \"
В частности,
\-з
B \~
з; " 16 '
Решение. Имеем:
1) 2 - 22 4 '
/ 2 \�
2>E) "
27
5.31.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
3)
1
16'
; 4 8 16 16 '
Ответ: 3— .
16
Пример 2. Доказать, что:
а) а� аГъ = а"8; б) а4 : а� = а7; в) (а�)� = а6.
Р е ш е н и е. а) а~3 • а~ъ = — • — = -,—г = Л
а а а а
Рассмотрим тождества, доказанные в примере 2, повнима-
тельнее. Первое означает, что
(п/>ц умножении степеней с одинаковыми основаниями показа-
тели складываются).
Второе тождество означает, что
а4:а-3=а4-<-3)
(при делении степеней с одинаковыми основаниями из показа-
теля делимого надо вычесть показатель делителя).
Третье тождество означает, что
(а-2Г3=а(-2>-(-3>
(при возведении степени в степень показатели перемножаются).
Как видите, те свойства степеней, к кото-
рым вы привыкли, имея дело с натуральными
показателями, сохраняются и для отрицатель-
ных целых показателей.
Вообще, справедливы следующие свойства (мы считаем,
что а ф 0, Ъ Ф 0, s vi t — произвольные целые числа):
3. (as){ = ast.
4. (ab)s = as • bs
Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2
ограничения s > t (как это было тогда, когда мы оперировали
только с натуральными показателями степени). Например,
верно как равенство а1 : а2 = а1 ~2, так и равенство а2 : а7 — а2'7.
Частичные обоснования указанных свойств были сделаны
выше, этим и ограничимся.

_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 8 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.