KNOWLEDGE HYPERMARKET


Скалярное произведение векторов

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Скалярное произведение векторов


                                      СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ


Скалярным произведением векторов 23-06-1.jpg12) и 23-06-8.jpg (b1;b2) называется число a1b1 + a2b2.

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение 23-06-1.jpg.23-06-1.jpg обозначается 23-06-1.jpg2 и называется скалярным квадратом. Очевидно, 23-06-1.jpg2=|23-06-1.jpg|2.

Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов 23-06-1.jpg12), 23-06-8.jpg(b1;b2), 23-06-23.jpg(c1;c2)


(23-06-1.jpg+23-06-8.jpg) 23-06-23.jpg=23-06-1.jpg23-06-23.jpg + 23-06-8.jpg23-06-23.jpg.

Действительно, левая часть равенства есть (а1;b1)c1 + 2;b2)c2 , а правая a1c1 + a2 c2 + b1c1 + b2 c2 . Очевидно, они равны.

Углом между ненулевыми векторами 23-06-3.jpg и 23-06-17.jpg называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами 23-06-1.jpg и 23-06-8.jpg называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. 

Доказательство. Пусть 23-06-1.jpg и 23-06-8.jpg — данные векторы и 23-06-54.jpg — угол между ними. Имеем:

23-06-55.jpg

Отсюда видно, что скалярное произведение 23-06-1.jpg 23-06-8.jpg выражается через длины векторов 23-06-1.jpg, 23-06-8.jpg и 23-06-1.jpg + 23-06-8.jpg, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать спехщальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 225. При таком выборе системы координат координа-


23-06-56.jpg
 
тами вектора 23-06-1.jpg будут |23-06-1.jpg| и О, а координатами вектора 23-06-8.jpg будут

23-06-57.jpg


Теорема доказана.

Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача (38). Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение. Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 226). Имеем векторные равенства

23-06-58.jpg

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

23-06-59.jpg


Сложим эти равенства почленно. Получим:

23-06-60.jpg


Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

23-06-61.jpg


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планирование математике, материалы по математике 8 класса скачать, учебники онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.