Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Задачи-5(8 класс)

                                                 ЗАДАЧИ

1. На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В лежит между точками А и С. Среди векторов ,
, и назовите одинаково направленные и противоположно направленные.
2. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов к .

3. Даны вектор и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору , если: 

1) точка С лежит на прямой АВ;

2) точкаС не лежит на прямой АВ.

4. Векторы (2; 4), ( —1; 2), (с^; Cj) отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов?

5.    Абсолютная величина вектора (5; m) равна 13, а вектора (n; 24) равна 25. Найдите m и n.

6.    Даны точки А(0; 1) В(1;0), С(1; 2), D (2; 1). Докажите равенство векторов и .
7.    Даны три точки А (1; 1), В( —1;0), C(0; 1).  Найдите такую точку D (х; у), чтобы векторы и были равны.
8. Найдите вектор , равный сумме векторов и ,    и абсолютную величину вектора , если:

1) a(1; —4), b(-4;8);

2)a(2;5), b(4;3). 

9. Дан треугольник ABC. Найдите сумму векторов:

1) и ;

2) и ;

3) и ;

4) и .
 
10.    Найдите вектор = — и его абсолютную величину, если

1) (1; -4), (-4; 8);

2) (-2; 7),(4; -1).

11.    Даны векторы с общим началом: и . Докажите, что —=.
12.    В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке М. Выразите векторы и через векторы =, = (рис. 228).
13.    Начертите три произвольных вектора , , , как на рисун-

ке 229. A теперь постройте векторы, равные:

1) + + ;

2) — + ;

3) -+ + .   

14. 1) Докажите, что для векторов , и имеет место неравенство .

2) Докажите, что для любых векторов и имеет место неравенство .

15. К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей (рис. 230).

16.С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?

17. Даны точки А (х₁, у₁) и B(x₂;y₂). Докажите, что векторы и противоположно направлены.
18. Докажите, что векторы (1; 2) и (0,5; 1) одинаково направлены, а векторы ( —1;2) и (0,5; —1) противоположно направлены.
19.Даны векторы (3;2) и (0; —1). Найдите вектор = — 2 + 4 и его абсолютную величину.

20. Абсолютная величина вектора Ы равна 5. Найдите "к, если: 1) с( —6;8); 2) с(3; —4); 3) с (5; 12).

21. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что АМ=^(АВ+АС).

22. Точки М к N являются серединами отрезков АВ и CD соответственно.  Докажите  векторное  равенство  MN =
= ^{AC+BD) (рис. 231).
 
97
 
 
23. Дан параллелограмм ABCD, АС=а, DB=b (рис. 232).
Выразите векторы АВ, СВ, CD и AD через а к Ь.
24*. Докажите, что у коллинеарных векторов соответ-
ствующие координаты пропорциональны. И обрат-
но: если у двух ненулевых векторов соответствующие
координаты пропорциональны, то эти векторы колли-
неарны.    (;


Н
D
25.    Даны векторы а(2; —4), Ь (1; 1), с(1; —2), d( —2; —4). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?     _    _
26.    Известно, что векторы с(1; —1) и Ь(—2; т) коллинеарны. Найдите, чему равно т.
27.    Даны векторы а(1; 0), 1) и с( —1; 0). Найдите такие числа Я. и |д,, чтобы имело место векторное равенство с = Я.с-|-(лЬ.
28. Докажите, что для любых векторов с и Ь (abf^a^b"^.

29. Найдите угол между векторами а(1; 2) и    —
30*. Даны векторы а и Ь. Найдите абсолютную величину вектора с -f- Ь, если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60°.
31.    Найдите угол между векторами с и c-f-b задачи 30*.
32.    Даны вершины треугольника А (1; 1), В(4;1), С (4; 5). Найдите косинусы углов треугольника.    _
33.    Найдите  углы  треугольника   с  вершинами  А (0; -\J3),
В(2;л/3), c(-|-;f).
34.    Докажите, что векторы а{т;п) и Ь{ — п;т) перпендикулярны или равны нулю.
35.    Даны векторы с (3; 4) и Ь{т; 2). При каком значении т эти векторы перпендикулярны?
36.    Даны векторы о (1; 0) и Ь(1; 1). Найдите такое число чтобы вектор а + ХЬ был перпендикулярен вектору с.
37.    Докажите, что если а и b -^единичные неколлинеарные векторы, то векторы с + b и с — b отличны от нуля и перпендикулярны.
38*. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
39*. Даны стороны треугольника с, Ь, с. Найдите его медианы та, ть, тс.
40.    Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
41.    Векторы с + Ь и а—Ь перпендикулярны. Докажите, что |с| = |Ь|.
42.    Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
43.    Даны четыре точки А (1; 1), В(2;3), С (0; 4), D( —1;2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
44.    Даны четыре точки А (0; 0),    1), С (0; 2), D( —1;1), Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
99
45. Среди векторов о( —f; -|), b(f; |),   с (0;  — 1), rf^-|- ; —найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны.
46.    Найдите единичный вектор е, коллинеарный вектору а (6; 8) и одинаково с ним направленный.
47.    Даны координатные векторы     (1; 0) и вг (0; 1). Чему
равны координаты вектора 2ei—Зег? 48*. 1) Даны три точки О, А, В. Точка X делит отрезок АВ в отношении Я.:|д,, считая от точки А. Выразите вектор ОХ через векторы ОА = а и ОВ=Ь.
2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.
49.    Докажите, что проекция с вектора с на ось абсцисс с коор-
динатным вектором ei (1; 0) задается формулой
a = keu где k — cei.
50.    Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна
сумме проекций слагаемых на ту же ось.
 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 8 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.