Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Рациональные неравенства

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Рациональное неравенство с одной переменной х — это неравенство вида — рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умно-жения, деления и возведения в натуральную степень. Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой, но в математике чаще всего предпочтение отдается букве х.
При решении рациональных неравенств используются те три правила, которые были сформулированы выше в § 1. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду / (ж) > 0, где / (х) — алгебраическая дробь (или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f (х) на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, который мы уже упоминали выше (см. в предыдущем параграфе пример 3).
Пример 1. Решить неравенство
(х - 1) (х + 1) (х - 2) > 0.
Решение. Рассмотрим выражение f(х) = (х-1)(х + 1)(х-2).
Оно обращается в 0 в точках 1,-1,2; отметим эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка (рис. 6), на каждом из которых выражение f (x) сохраняет постоянный знак. Чтобы в этом убедиться, проведем четыре рассуждения (для каждого из указанных промежутков в отдельности).

Возьмем любую точку х из промежутка (2, Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. Это значит, что х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Но тогда x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значит, и f (х) > 0 (как произведение рациональное неравенство трех положительных чисел). Итак, на всем промежутке выполняется неравенство f (x) > 0.

Возьмем любую точку х из интервала (1,2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки-1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х > -1, х > 1, но х < 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Возьмем любую точку х из интервала (-1,1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х >-1, но х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 > 0, х -1 <0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) > 0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, напромежутке (-1,1) выполняется неравенство f (x)> 0.

Возьмем, наконец, любую точку х из открытого луча (-оо, -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Это значит, что x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Подведем итоги. Знаки выражения f (x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 11. Нас интересуют те из них, на которых выполняется неравенство f (x) > 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 11, устанавливаем, что неравенство f (x) > 0 выполняется на интервале (-1, 1) или на открытом луче
О т в е т:  -1 < х < 1; х > 2.

Пример 2. Решить неравенство
Решение. Как и в предыдущем примере, почерпнем необходимую информацию из рис. 11, но с двумя изменениями по сравнению с примером 1. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выполняется неравенство f (x) < 0, нам придется выбрать промежутки Во-вторых, нас устраивают и те точки, в которых выполняется равенство f (x) = 0. Это точки -1, 1, 2, отметим их на рисунке темными кружочками и включим в ответ. На рис. 12 представлена геометрическая модель ответа, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Ответ:
П р и м е р 3. Решить неравенство
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби fх, содержащейся в левой части неравенства. В числителе имеем х²- х = х(х - 1).
Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен х² - bх ~ 6, содержащийся в знаменателе дроби, найдем его корни. Из уравнения х² - 5х - 6 = 0 находим х₁ = -1, х₂ = 6. Значит,
  (мы воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена: ах² + bх + с = а(х - х₁ - х₂)).
Тем самым мы преобразовали заданное неравенство к виду

Рассмотрим выражение:

Числитель этой дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а знаменатель обращается в 0 в точках -1 и 6. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 13). Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков, причем на каждом промежутке выражение fх) сохраняет постоянный знак. Рассуждая так же, как в примере 1, приходим к выводу, что знаки выражения fх) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 13. Нас интересует, где выполняется неравенство f (x) < 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).
0твет: -1<x <0; 1<x<6.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. При решении рациональных неравенств, как правило, предпочитают оставлять в правой части неравенства только число 0. Поэтому преобразуем неравенство к виду

Далее:
Как показывает опыт, если в правой части не(ра-венства содержится лишь число 0, удобнее проводить рассуждения, когда в левой его части и числитель и знаменатель имеют положительный старший  коэффициент. А что у нас? У нас в знаменателе дроби в этом смысле все в порядке (старший коэффициент, т.е. коэффициент при х², равен 6 — положительное число), но в числителе не все в порядке — старший коэффициент (коэффициент при х) равен -4 (отрицательное число). Умножив обе части неравенства на -1 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим равносильное ему неравенство
Разложим числитель и знаменатель алгебраической дроби на множители. В числителе все просто:
Чтобы разложить на множители содержащийся в знаменателе дроби квадратный трехчлен

(мы снова воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена).
Тем самым заданное неравенство мы привели к виду

Рассмотрим выражение

Числитель этой дроби обращается в 0 в точке  а знаменатель — в точках Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 14), которая разбивается указанными точками на четыре промежутка, причем на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак (эти знаки указаны на рис. 14). Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство fх < 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна — это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Во всех рассмотренных примерах мы преобразовывали заданное неравенство в равносильное ему неравенство вида f {х) > 0 или f (x) <0,где
При этом количество множителей в числителе и знаменателе дроби может быть любым. Затем отмечали на числовой прямой точки а,Ь,с,д. и определяли знаки выражения f (х) на выделенных промежутках. Заметили, что на самом правом из выделенных промежутков выполняется неравенство f (х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f (х) чередуются (см. рис. 16а). Это чередование удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которая чертится справа налево и сверху вниз (рис. 166). На тех промежутках, где эта кривая (ее иногда называют кривой знаков) расположена выше оси х, выполняется неравенство f (х) > 0; где эта кривая расположена ниже оси х, выполняется неравенство f (х) < 0.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Имеем

(обе части предыдущего неравенства умножили на положительное число 6).
Чтобы воспользоваться методом интервалов, отметим на числовой прямой точки (в этих точках числитель дроби, содержащейся в левой части неравенства, обращается в нуль) и точки (в этих точках знаменатель указанной дроби обращается в нуль). Обычно точки отмечают схематически, учитывая порядок их следования (какое — правее, какое — левее) и не особенно обращая внимания на соблюдение масштаба. Ясно, что   Сложнее обстоит дело с числами Первая прикидка показывает, что и то и другое число чуть больше, чем 2,6, откуда нельзя сделать вывод о том, какое из указанных чисел больше, а какое — меньше. Предположим (наугад), что Тогда
Получилось верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: на самом деле
Итак,

Отметим указанные 5 точек в указанном порядке на числовой прямой (рис. 17а). Расставим знаки выражения
на полученных промежутках: на самом правом — знак +, а далее знаки чередуются (рис. 176). Начертим кривую знаков и выделим (штриховкой) те промежутки, на которых выполняется интересующее нас неравенство f (x) > 0 (рис. 17в). Учтем, наконец, что речь идет о нестрогом неравенстве f (x) > 0, значит, нас интересуют и те точки, в которых выражение f (x) обращается в нуль. Это — корни
числителя дроби f (x), т.е. точки отметим их на рис. 17в темными кружочками (и, естественно, включим в ответ). Вот теперь рис. 17в дает полную геометрическую модель решений заданного неравенства.
Ответ: Файл:Al245.jpg
4    О
-О О    О-О О-    ► х
-V?    о Л 5
Рис. 17а
+ - + + ■О О О-О-О-► X
Рис. 17в

Обращаем ваше внимание на то, что встречаются рациональные неравенства, при решении которых метод интервалов следует применять с осторожностью, с некоторыми поправками. Эту мысль мы обсудим в остальных примерах параграфа.
Пример 6. Решить неравенство
(ж -1)2(* + 2) < 0.
Решение. Рассмотрим выражение / (ж) = (ж -1)2(ж + 2), отме-
24
1.3. I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
тим точки 1 и -2 на числовой прямой и определим знаки / (х) на каждом из трех полученных промежутков. Если х е (1, +<»), т.е. х > 1, то имеем
(х - I)2 > О, х + 2> 0.
Значит, (х - I)2 (х + 2) > 0.
Итак, на открытом луче (1, +<») выполняется неравенство/(х)>0. Если х е (-2, 1), т.е. -2 < х < 1, то имеем
(х- 1)2>0, ж + 2 > 0.
Значит, (х - I)2 (х + 2) > 0.
Итак, на интервале (-2, 1) выполняется неравенство / (х) > 0. Если х е (-оо, -2), т.е. х < -2, то имеем
(х- 1)2>0, х + 2 < 0.
Значит, (х - I)2 (х + 2) < 0.
Итак, на открытом луче (-со, -2) выполняется неравенство/(х) < 0.
- + +
I I I I I I I I I I Р    С    ► X
-2
Рис. 18
Изменение знаков выражения / (х) показано схематически на рис. 18. Нас интересует случай, когда /(х) < 0. Опираясь на геометрическую модель, представленную на рис. 18, выбираем открытый луч (-оо, -2).
О т в е т: х < -2.
Замечание 1. В примере 6 не было того чередования знаков, на которое мы обратили внимание выше, а потому и «кривую знаков» мы здесь чертить не стали. Привычная картина нарушена из-за того, что в выражении ((х) фигурировал множитель (х - 1)2. Примите совет: если после разложения на множители числителя и знаменателя алгебраической дроби ((х) вы обнаружили множитель вида (х - а)", где п = 2, 3, 4, ..., не пользуйтесь «кривой знаков», а определяйте знаки выражения ((х) в каждом из выделенных промежутков по отдельности, как в примере 6.
25
1.3. I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
Замечание 2. Если бы заданное в примере 6 неравенство было нестрогим, т.е. имело вид (х - 1 )2(х + 2) < 0, то геометрическая модель решения изменилась бы: точки 1 и -2 следовало отметить закрашенными кружочками и включить в ответ (рис. 19). Решение неравенства имело бы тогда следующий вид: х<-2; х = 1.
И11114    »    > х
-2 1
Рис. 19
Пример 7. Решить неравенство
19 - х2 - 4х 3 49-х2 7 + х ' Решение. Преобразуем неравенство к виду
19 - х2- 4х 3
-----< О
49-х2 7 + х
и поработаем с левой частью получившегося неравенства. Имеем:
19 - х2 - 4х _ 3 _ 19 - х2 - 4* _ З11^ 49-х2 7 + х (7 - х)(7 + х) 7 +х
= 19 - х2 - 4х - 3(7 - х) _ -х2 - х - 2 _ х2 + х + 2
(7 - х)(7 + х)    (7-х)(7 + х) ~ (х -7)(х + 7) '
Таким образом, задача сводится к решению неравенства
х2 + х + 2 л
- < 0.
(х - 7)(х + 7)
Попытаемся разложить на множители числитель алгебраической дроби, содержащейся в левой части неравенства. Речь идет о разложении на множители выражения х2 + х + 2. Но дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:
12-4 -1 - 2 = -7.
Значит, корней у трехчлена нет, а потому формула ах2 + Ъх + с = = а(х - х5)(х - х2) здесь неприменима. Как же быть?
26
1.3. I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
Ответ на этот вопрос дает сформулированная выше теорема: если у квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то трехчлен положителен при всех значениях х. Но тогда на него можно разделить обе части неравенства, не меняя знака неравенства (см. в § 1 второе правило решения неравенств). Итак, от неравенства
_ + 1) < ^ мы пеРех°Дим к равносильному ему и более простому неравенству
< 0.
(х - 7)(х + 7)
Воспользовавшись методом интервалов (рис. 20), выбираем в качестве решения последнего неравенства интервал (-7, 7). О т в е т: -7 < х < 7.
Рис. 20
Пример 8. Решить неравенство Зх2 - 2х - 2 < 0. Решение. Найдем корни квадратного уравнения
Зх2 - 2х - 2 = 0:
1± VI2 - (-2) 3 1± У?
3    3 ;
= - 1 ~ ^
х> 3 ' х* 3 '
Конечно, можно, применив формулу
Зх2 - 2х - 2 = 3(х - хх)(х - х2),
решить заданное неравенство методом интервалов. Но для решения квадратных неравенств у нас имеется проверенный и надеж-
27
1.3. I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
ный метод, который мы вспомнили в предыдущем параграфе. Отметим корни х1 и х2 на числовой прямой, учтя при этом, что х2 < х%, и построим (схематически) параболу у = Зя2-2х-2; главное — учесть, что ветви этой параболы направлены вверх (рис. 21). Выбираем промежуток, на котором парабола расположена под осью х, — это интервал (х2, а^). Он представляет собой решение заданного неравенства.
+ х
Рис. 21
_    1-^7 1 + Л
Ответ: -— < х <-.
3    3

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.