Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Свойства функций

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
В 7-м и 8-м классах вы изучали некоторые свойства функций. Сейчас мы их соберем вместе, в один параграф, напомним их суть и геометрический смысл и договоримся о том, в каком порядке будем перечислять эти свойства при чтении графика функции. Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X — числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).
Определение 1. Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х₁ и х₂ множества X, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(х₁ < f(х₂).
Определение 2. Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых монотонность двух точек х₁ и х₂ множества X, таких, что х₁ < х₂, функции    выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.
Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) — без указания числового множества X.

Пример 1. Исследовать на монотонность функцию:
а)    у = х³ + 2; б) у = 5 - 2х.
Решение: а) Возьмем произвольные значения аргумента х₁ и х₂ и пусть х₁<х₂. Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Последнее неравенство означает, что f(х₁) < f(х₂). Итак, из х₁ < х₂ следует f{х₁) < f(х₂), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
б)    Если х₁ < х₂, то -2х₁ > -2х₂; далее имеем 5 - 2.x₁ > 5 - 2х₂, т.е. f(х₁) > f(х₂).
Итак, из х₁ < х₂ следует f(х₁) > f(х₂), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).
Определение 3. Функцию у — f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).

Определение 4. Функцию у = /(х) называют ограниченной сверху на множестве X с 1)(/), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существу-е т число М такое, что для любого значения х е X выполняется неравенство Дх) < М).
Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху во всей области определения.
Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.
Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику: если функция ограничена снизу, то
ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т (рис. 57); если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М (рис. 58).
Пример 2. Исследовать на ограниченность функцию
У = у1 9-Х2.
Решение.С одной стороны, вполне очевидно неравенство

ограниченность функции
ограниченность снизу
ограниченность сверху
78
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
^9-х2 >0
(по определению квадратного корня у/а > 0). Это означает, что
функция ограничена снизу.
С другой стороны, имеем 9 - х2 < 9, а потому
49-х2 <3.
Это означает, что функция ограничена сверху.
А теперь посмотрите на график заданной функции (рис. 52 из предыдущего параграфа). Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко. (И
Определение 5. Число т называют наименьшим значением функции у = /(х) на множестве X С !)(/"), если:
1)вХсуществует    такая точка х0, что }(х0) = т;
2)    для всех* из X выполняется неравенство
т>кх0).
Определение 6. Число М называют наибольшим значением функции у = /(*) на множестве X С /?(/), если:
1)вХ    существует такая точка хд, что /(дс0) = М;
2)    для всех* из X выполняется неравенство
/<*) </<*„).
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у , а наиболь-
наим.
шее — символом ушп6 ■ Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.
Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:
1)    Если у функции существует утнм, то она ограничена снизу.
2)    Если у функции существует уию6, то она ограничена сверху.
3)    Если функция не ограничена снизу, то унаим не существует.
4)    Если функция не ограничена сверху, то ушя6 не существует.
наименьшее, наибольшее значения функции
79
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
У = 4 9-х2.
Решение. Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что г/наим = 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а ушя6 — 3 (этого значения функция достигает в точке х — 0. <■]
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции    соединив любые две точки ее графика (с абсцисса-
выпуклостъ функции
ми из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).
Второе свойство — непрерывность функции на промежутке X — означает, что график функции на промежутке X — сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.
80
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Замечание. На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.
А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; Уятж , УЕт6; непрерывность; область значений; выпуклость.
Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.
1. Постоянная функция у = С
График функции у = С изображен на рис. 61 — прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.
        У ^    к                       
            С                       
                            у =    с   
                                   
                                    X
        0                           
Рис. 61
2. Линейная функция у = кх + т (к Ф 0)

Графиком функции у = кх + т является прямая (рис. 62, 63).
обратите внимание
81
».9. I    ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
        У;    1                       
                        №           
                    V^ "и    7°    >       
        т                           
    V    У                            X
        0                           
        У*    к                       
                                   
        т                           
                г                   
                    \0                X
        0                    ч    ч   
Рис. 62
Рис. 63
Свойства функции у — кх+т:
1)    !>(/) = (-оо,+со);
2)    возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к < 0 (рис. 63);
3)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
4)    нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5)    функция непрерывна;
6)Е(/)    = (-оо,+оо);
7)    о выпуклости говорить не имеет смысла.
3. Функция у = кх2 (к Ф О)
Графиком функции у = кх2 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к < 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
            У А    к        ! =    кх       
                                   
                                   
        \                (й:    0)       
        \            /               
        \            /               
            к    /                    X
            0                       
                                   
            У А    к                   
            0                        X
        у    /    N                   
        /            V'    :<0    )       
        /            \               
                    \               
        !                           
                    ГУ        = 1    X2   
                                   
Рис. 80а
Рис. 806
82
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Свойства функции у - кх2:
Для случая к> 0 (рис. 64):
1)    !>(/) = (-оо,+оо);
2)    убывает на луче (-оо, 0], возрастает на луче [0, +оо);
3)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)    Ун«им. = У шт. не существует;
5)    непрерывна;
6)Е(/)    = [0,+оо);
7)    выпукла вниз.
Обратите внимание: на промежутке (-оо, 0] функция убывает, а на промежутке [0, +оо) функция возрастает. Эти промежутки называют промежутками монотонности функции у = кх2. Понятие промежутка монотонности будем использовать и для других функций.
Для случая к < 0 (рис. 65):
1)    !>(/) = (-оо,+00);
2)    возрастает на луче (-оо, 0], убывает на луче [0, +оо);
3)    не ограничена снизу, ограничена сверху;
4)    Уяанм. не существует, г/ианб = 0;
5)    непрерывна;
6)Е(Г>    = (-оо, 0];
7)    выпукла вверх.
График функции у = /(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; /(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) — «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только нагляд-но-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто
6*
83
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места.
4. Функция У = ~
Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).
                У'    к               
                                   
                        У    _ К ' ~х    [к>    0)
                                   
                                    X
        N        0                   
            N                       
                \                   
                \                   
                У'    к               
                1                   
                /                   
У =        <0    V                       
                                    X
                0                   
                    1    /           
                    /               
                    1               
Рис. 66
Рис. 67
Свойства функции у = — :
1)    !)(/) = (-00,0)1^0,+оо);
2)    если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к < 0* то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
4)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
5)    функция непрерывна на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо);
6)Е(/)    = (-оо,0)1)(0,+оо);
7)    если к > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х > 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к < 0, то функция выпукла вверх при х > О и выпукла вниз при х < О (рис. 67).
84
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
5.    Функция у = у[х
Графиком функции является ветвь параболы (рис. 68). Свойства функции у = л[х :
1)    В(/) = [0, +оо);
2)    возрастает;
3)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)    Унанм. = Унанб. не существует;
5)    непрерывна;
6)Е(/)    = [0,+оо);
7)    выпукла вверх.
6.    Функция у = | х |
Графиком функции является объединение двух лучей: у = х, х>Ои у = -х, х < 0 (рис. 69).
Свойства функции у= | х |:
1)    !)(/) = (-оо,+оо);
2)    убывает на луче (-оо, 0], возрастает на луче [0, +оо);
3)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)    У нанм. = °> У„а„6. не существует;
5)    непрерывна;
6)Е(/)    = [0,+оо);
7)    функцию можно считать выпуклой вниз.
85
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
7. Функция у = ах2 + Ьх + с
Графиком функции является парабола с вершиной в точке («о» Уо)' гДе    Ь
хо= - 2а ' =    а*о+Ь*о+со>
и с ветвями, направленными вверх, если а > 0 (рис. 70), и вниз,
Ь
если а < 0 (рис. 71). Прямая х - -— является осью параболы.
    У    к 1            У=    ах2к-Ьх        +с   
                            (а>    0)   
                                   
            \            /           
            \            /           
            \            /           
                V    1    г            д:
    0    .Уо        \    /               
                    X               
                                   
    У    к                           
                    л:    = -    2а       
    Уо                N               
            /            \            д:
    0        /            \           
            /            \           
                                   
                        !           
                    У=    ах2    4-Ьд    +с   
                        (а<    0)       
Рис. 70
Рис. 71 ах2 + Ъх + с:

2) возрастает на луче
2а
, убывает на луче
3)    не ограничена снизу, ограничена сверху;
4)    У нанм. не существует, унаиб = г/0;
5)    непрерывна;
6)е(/)    = (-оо,1/0];
7)    выпукла вверх.
Ь_ 2а'
+ оо
86
3.12. ||
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Смотр наших знаний о функциях можно считать законченным. Разумеется, приведенным перечнем в реальной жизни не обойтись. Некоторые новые функции и их свойства встретятся нам уже в этой главе.
Пример 4. Прочитать график функции у = /(*), заданной графически (рис. 72).
Решение.
1)    Я(Я = [-4, +оо);
2)    возрастает на отрезке [-4, 0], убывает на луче [0, +оо);
3)    ограничена и снизу, и сверху;
4)    У нанм. не существует, уйвМ = 3;
5)    непрерывна;
6)Е(/)    = (0, 3];
7)    выпукла вверх на отрезке [-4, 0], выпукла вниз на луче
[О,+оо). <1

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.