KNOWLEDGE HYPERMARKET


Числовая окружность на координатной плоскости

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Числовая окружность на координатной плоскости


ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 104: центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом Alg21.jpg Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: у точек первой четверти — х > 0, у> 0; у точек второй четверти — х < 0, у > 0; у точек третьей четверти — х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0 (рис. 104).

Alg22.jpg
 Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства: Alg23.jpg
Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R— 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х22 = 1.
Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Начнем с точек первого макета:

Alg24.jpg
Точка Alg25.jpg середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ}Р (рис. 105). Так как дуга АМХ составляет половину дуги АВ, то Alg26.jpg Значит, ОМ1Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М1Р равны, т.е. у точки Мх абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М1х; у) удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = 1. Таким образом, для отыскания координат точки Мх нужно решить систему уравнений

Alg27.jpg
Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

Alg28.jpg
1 1 -ЛИ
(мы учли, что абсцисса точки М1 положительна). А так как у = х,то И Alg29.jpg
Итак,

Alg210.jpg
Проанализируем полученное равенство. Что означает запись Alg211.jpg  Она означает, что точка М1 числовой окружности соответствует числу Alg215.jpg А что означает запись Alg216.jpg Она означает,

что точка имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано М(1), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу Ц если будет написано М(х; у), то это значит, что числа хиу являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, а I — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности.
Рассмотрим точку Alg217.jpg  середину второй четверти. Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля ординаты этой точки те же значенияAlg218.jpg Но, учтя, что во второй четверти х < 0, а у > О, делаем вывод:

Alg219.jpg

Alg220.jpg
Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете (рис. 101). Возьмем точку Alg221.jpg  опустим из нее перпендикуляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМхР (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, Alg222.jpg это ордината точки М:

Alg223.jpg
1 1
У= 2"
                У '                   
                к                   
    /                        N    чл    г,
    /                               
С                            30°    \А   
                О                Р X   
                                   
А    'Л                               
                    Я               
                                   
Рис. 126
159
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
По теореме Пифагора,
т.е.
л;2==0р2= 0М2 - М1Р2=12-[-
2 3 _ Л
1 4 4'
Итак,
М,
п
V6/

>/3 Г
(мы учли, что точка — принадлежит первой четверти, а потому обе о
ее координаты — положительные числа).
С точкой МЛ - | связан тот же прямоугольный треугольник,
2{з)
только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем
3 1 2 2 2
. у    \ ;
Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется,
М2[*
точки А(0), В
2
\ У
2
), причем по чертежу нетрудно опре-1
делить, какая координата равна по модулю числу ~ , а какая —чис-
>/3    (7п)
лу — . Возьмем для примера точку М3 — I (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М3Ь к оси х. Во-первых,
1 у/3
М3Ь < ЬО, т.е. | у [ < | х |. Значит, из двух чисел - и — в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее, т.е. ^, а в качестве абсцис-сы — большее, т.е. — . Во-вторых, — — точка третьей четверти,
а    О

а потому для точки будет х < 0 и у < 0. Окончательно получаем
М.

V6,
м31-

160
518.Ц
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А теперь возьмите точку Мл — | и попробуйте, проведя анало-
гичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете
проверить правильность своего вывода.
Таблица 2
Точка    я    я    2я    5л    7л    4я    5я    11л
окружности    6    3    3    6    6    3    3    6
Абсцисса х    7з    1    1    7з        1    1    Уз
    2    2    2    2    2    2    2    2
Ордината у    1    л/з    >/3    1    1    7з    Уз    1
    2    2    2    2    2    2    2    2
А теперь проверьте себя: М41 — ] = М4
1 Уз', ,
-; - ---- | (см. предпо-
следнюю колонку таблицы 2).
Пример 1. Найти координаты точек числовой окружности:
б)?^-^; в)Р3(45т1); г)Р4(-18тг).
Решение. Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам I и ^ + 2кк (к е 2) соответствует одна и та же точка числовой окружности.
а) Имеем
45я 45    5    5л 5я
—— = — • 71 = (10+ 7)71=1071+ -Г = -- + 2я-5. 4 4    4'    4 4
45я
Следовательно, числу соответствует та же точка числовой 5я
окружности, что и числу — (см. первый макет, рис. 100). Для точ-
5л ки — имеем х = - — 4 2    >У =    42 2 '    Значит,   
Л    ' 45яч /        -    2
10*    161
5.18.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
б) Имеем
37я 37
•71 = -
12 +
71 =-1271- ~ = +271-(-6).
о    3
37я
Следовательно, числу —— соответствует та же точка число-
о
я    Я
вой окружности, что и числу - - . А числу - - соответствует на чис-
о    о

ловои окружности та же точка, что и числу — (см. второй макет —
5я    1    73
рис. 101). Для точки — имеем х = - , г/ = - — . Таким образом,
о    I    2
37я4    _ п    ( 1 _   
    2    2'    2 /
в)    4571 = 4471+ 71 = 71 + 2т1-22. Значит, числу 45я соответствует та же точка числовой окружности, что и числу к, — это точка С(-1; 0). Итак,
Р3(4571) = Р3(-1;0).
г)    —1871 = 0 + 271- (-9). Следовательно, числу —1871 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 0, — это точка А(1; 0). Итак,
Р4(-18т1) = Р4(1;0). <1
Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ордина-1
той у = — и записать, каким числам I они соответствуют.
Решение. Прямая у = - пересекает числовую окружность
я
в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу -(см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида

^ + 2пк; точка Р соответствует числу — , а значит, и любому числу

вида — + 2пк. Получили, как обычно говорят в таких случаях, две
я    5я
серии значений: — + 2пк и — + 2т1к.
о    о
Ответ: 1= - + 271 к; I = о

+ 2тгк.
162
5.18.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
=    Л            У л    кВ               
        /                           
    м.    г                           
    /                               
С                                   
                    0            1 х   
    V                               
    л                               
        ч]                           
                    и               
Рис. 107
Рис. 108
Пример 3. Найти на числовой окружности точки с абсцис-
72
СОИ X =
и записать, каким числам I они соответствуют.
42
Решение. Прямая х = —— пересекает числовую окружность
Зя
в двух точках: М и Р (рис. 108). Точка М соответствует числу —
(см. первый макет — рис. 100), а значит, и любому числу вида Зя    5я
— + 2пк; точка Р соответствует числу — , а значит, и любому

числу вида у + 2пк.
Зя    5я
Ответ: 1= — + 2пк; I = — + 2пк. 4    4
Замечание. Решая пример 3, можно было рассуждать немного по-другому: точка Р соответствует чис-
Зя    .    Зя
лу--, а значит, и любому числу вида--+ 2пк.
4    4
Зя
Получили две серии значений: / =--\-2пк (для точ-
Зя    4
ки М)и/ = -— + 2пк (для точки Р). Чем это лучше по
сравнению с записью ответа к примеру 3? Тем, что обе
серии значений можно охватить одной записью:
Зя „ , /= ± — +2пк. 4
11*
163
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.