KNOWLEDGE HYPERMARKET


Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс


СИНУС И КОСИНУС. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС.
1. Синус и косинус.
Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соз t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают зт t.
Итак (см.рис. 109),

Alg31.jpg
Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.
Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:

у точек первой четверти    х > 0, у > 0;
у точек второй четверти    х < 0, у > 0;
у точек третьей четверти    х < 0, у < 0;
у точек четвертой четверти    х > 0, у < 0 (рис. 104).
Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Alg32.jpg
Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х2 + у2 = 1.
Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее ат t и соз t:
Alg33.jpg
В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соа t и ат t.

Alg34.jpg
Пример 1. Вычислить соs t и sin t, если:

Alg35.jpg
Решение: а) В примере 1а из § 18 мы установили, что числу Alg36.jpg  соответствует та же точка числовой окружности, что и

Alg37.jpg
б)    В примере 16 из § 18 мы установили, что числу

Alg38.jpg
Пример 2. Решить уравнение Alg39.jpg

Решение. Учтем, что sin t — ордината точки М{1) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:

Alg310.jpg
Пример 3. Решить уравнение Alg311.jpg
Решение. Учтем, что sin t — ордината точки М{1) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:

Alg312.jpg
Пример 4. Решить уравнение:

Alg313.jpg
Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), п (точка С), 2п (точка А), Зп (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида пк.

Alg314.jpg

б)    Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109).
я    я
она соответствует числу —, а значит, и всем числам вида - + 2пк.
167
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значит, решения уравнения
8111 1 = 1
имеют вид
Л
I = - + 2 пк.
в) Ординату -1 имеет точка Б числовой окружности (рис. 109),
Л
она соответствует числу - —, а значит, и всем числам вида
-К + 2 пк. 2
Значит, решения уравнения
31П I = -1
имеют вид
1 = --+2пк. (1 2
Пример 5. Решить уравнение:
а)    соз 1 = 0; б) соз 1 = 1; в) соз 1 = -1.
Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и О (рис. 109), они соответствуют чис-
л    Зл    5я    7л
лам — (точка В), — (точка В), — (точка В), — (точка Б),
^    6    и    о
- ^ (точка Б), - — (точка В) и т.д. Короче это можно записать так:
с*    С*
л
точки В к В соответствуют числам вида — + пк. Итак, решения уравнения
соз / = 0
имеют вид
я
I = - + пк.
б)    Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2пк, т.е. 2пк.
Значит, решения уравнения
соз 2=1
имеют вид
I = 271 к.
в)    Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу я, а значит, и всем числам вида п + 2пк.
168
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значит, решения уравнения
сон I = -1
имеют вид
I = 71 + 2л к. <1
Замечание. Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.
Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.
Свойство 1. Для любого значения I справедливы равенства:
8111 {-I) = -8111 I, соз {-I) = соз I.
Например,
я \ .я 1
81П |--= -8111 - =--
6 6 2
71
71 72
008 I "4 ] =С08 " = у.
Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-/) = = соз I. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что 8Ш (-*) = -зт I.
Свойство 2. Для любого значения 1: справедливы равенства-.
г    Л
зт (<■ + 271 к) =    81П
соз (1 + 2т1к) =    СОЗ 1.
V    У
Это очевидно, поскольку числам I и I + 2як соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).
169
5.19.Ц
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Свойство 3. Для любого значения I справедливы равенства:
81П (2 + 71) = -81П I, соз (2 + л) = -соз I.
Например,

31Щ-
= 81П| -+Л
. Я    1
    '5»Г|   
С08    Л    = С08
    \ /   
я    я 42
- +Л = -С08" =--
4 1    4 2
Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу I + л соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что
СО8 (2 + л) = -С08 I, 81П (I + Л) = -81П I.
Рис. 110
170
Рис. 111
5.19.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
2. Тангенс и котангенс.
тангенс числа
котангенс числа
Определение. Отношение синуса числа I к косинусу того же числа называют тангенсом числа I и обозначают Отношение косинуса числа I к синусу того же числа называют котангенсом числа I и обозначают V.
=
зт I

соз I
соз I    зт I
Говоря о I, подразумевают, что сое I Ф О, т.е.
что IФ - + пк (см. пример 5а), а говоря о I, подразумевают, что 81П I Ф 0, т.е. что I Ф пк (см. пример 4а). Поэтому обычно определения I и сЬ§ I записывают так:
ВИИ    я
1§г = -, Где I Ф — + пк,
соз г    2
I ± ^ 003 I
с щг = ——, где I ф я к.
I _зт I_
Впредь, говоря о I или I, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент I принимает только допустимые значения:
я
IФ д + пк для I и I Ф пк для сЬ& I.
Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:
Четверть    1-я    2-я    3-я    4-я
1, с4е 1    +    -    +    -
Пример 6. Вычислить:
я    5я    я    5я
а)1§-; б)<#у; в)^^; г)с<#у.
в    мл    . я 72    Я 72
Р е ш е н и е. а) Имеем: зт ~ = — , со8~ = —
171
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значит,
я 72 >/2 .
5тг 7з    1
б) Имеем: ат — = -—- , соа — = - (см. второй макет
рис. 101). Значит,
*8
3 2 ' 2
я    я
в)    Имеем: ат - = 1, соа - = 0. Значит,
сЩ = 0:1 = 0.
571    1    571
г)    Имеем: 81*1 ^г = ^    = ~~2~ втоР°^ макет — рис. 101). Значит,
5я V3 1
Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:
г    0    я 6    я 4    я 3    я 2
    0    7з 3    1    7з    -
    -    7з    1    7з 3    0
Свойство 1. Для любого допустимого значения I справедливы равенства'.
аёН)

172
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Доказательство. Воспользуемся тем, что соа (-(:) = сов I, а 81п (-1) = -81п I (см. свойство 1 из п. 1). Имеем:
сЪёН) --
вт(~1) _ - В1П I _ 8111 I соз(-4) соз I
соз(-4) соз I
зт(-г) - 8111 I
СОЗ I
соз I зтг
с1# и
Свойство 2. Для любого допустимого значения I справедливы равенства:
(I + л) =
Доказательство. Воспользуемся тем, что сое (г + я) = -соа а 81п (* + я) = -81п I (см. свойство 3 из п. 1). Имеем:
. . . 8111(4 + я) -81114 81114 ,
1ёи + л) = -= -- = -- = х&г,
соз(I + я) -соз I соз I
. , . соз(4 + я) -соз I соз I
+ 71) = ---- =- = - =
3111(4 + я) -31114 31114
Нетрудно доказать, что выполняются и такие равенства: (I + 2л) = 1,1ё (I - л) = I, Ц + 2л) = I
и вообще
/■-
(* + пк) = Ьё I, (I + пк) = I.
Пример 7. Вычислить:
а)1*
7я 3
; б)с1§
Р е ш е н и е. а) По свойству 1,
5я 4~' 7я 3

у . Так как далее
7я 3
2л + -, то


173
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением). Итак,
1*

(
б)сЛв 4-    -
лись свойством 2). <■]
: 4 = ^ (здесь мы также воспользова-

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.