Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс

СИНУС И КОСИНУС. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС.
1. Синус и косинус.
Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соз t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают зт t.
Итак (см.рис. 109),

Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.
Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:

у точек первой четверти    х > 0, у > 0;
у точек второй четверти    х < 0, у > 0;
у точек третьей четверти    х < 0, у < 0;
у точек четвертой четверти    х > 0, у < 0 (рис. 104).
Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х² + у² = 1.
Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее ат t и соз t:

В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соа t и ат t.

Пример 1. Вычислить соs t и sin t, если:

Решение: а) В примере 1а из § 18 мы установили, что числу   соответствует та же точка числовой окружности, что и

б)    В примере 16 из § 18 мы установили, что числу

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Учтем, что sin t — ордината точки М{₁) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:

Пример 3. Решить уравнение
Решение. Учтем, что sin t — ордината точки М{₁) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:

Пример 4. Решить уравнение:

Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), п (точка С), 2п (точка А), Зп (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида пк.

б)    Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109).
я    я
она соответствует числу —, а значит, и всем числам вида - + 2пк.
167
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значит, решения уравнения
8111 1 = 1
имеют вид
Л
I = - + 2 пк.
в) Ординату -1 имеет точка Б числовой окружности (рис. 109),
Л
она соответствует числу - —, а значит, и всем числам вида
-К + 2 пк. 2
Значит, решения уравнения
31П I = -1
имеют вид
1 = --+2пк. (1 2
Пример 5. Решить уравнение:
а)    соз 1 = 0; б) соз 1 = 1; в) соз 1 = -1.
Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и О (рис. 109), они соответствуют чис-
л    Зл    5я    7л
лам — (точка В), — (точка В), — (точка В), — (точка Б),
^    6    и    о
- ^ (точка Б), - — (точка В) и т.д. Короче это можно записать так:
с*    С*
л
точки В к В соответствуют числам вида — + пк. Итак, решения уравнения
соз / = 0
имеют вид
я
I = - + пк.
б)    Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2пк, т.е. 2пк.
Значит, решения уравнения
соз 2=1
имеют вид
I = 271 к.
в)    Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу я, а значит, и всем числам вида п + 2пк.
168
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значит, решения уравнения
сон I = -1
имеют вид
I = 71 + 2л к. <1
Замечание. Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.
Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.
Свойство 1. Для любого значения I справедливы равенства:
8111 {-I) = -8111 I, соз {-I) = соз I.
Например,
я \ .я 1
81П |--= -8111 - =--
6 6 2
71
71 72
008 I "4 ] =С08 " = у.
Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-/) = = соз I. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что 8Ш (-*) = -зт I.
Свойство 2. Для любого значения 1: справедливы равенства-.
г    Л
зт (<■ + 271 к) =    81П
соз (1 + 2т1к) =    СОЗ 1.
V    У
Это очевидно, поскольку числам I и I + 2як соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).
169
5.19.Ц
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Свойство 3. Для любого значения I справедливы равенства:
81П (2 + 71) = -81П I, соз (2 + л) = -соз I.
Например,
7я
31Щ-
= 81П| -+Л
. Я    1
    '5»Г|   
С08    Л    = С08
    \ /   
я    я 42
- +Л = -С08" =--
4 1    4 2
Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу I + л соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что
СО8 (2 + л) = -С08 I, 81П (I + Л) = -81П I.
Рис. 110
170
Рис. 111
5.19.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
2. Тангенс и котангенс.
тангенс числа
котангенс числа
Определение. Отношение синуса числа I к косинусу того же числа называют тангенсом числа I и обозначают Отношение косинуса числа I к синусу того же числа называют котангенсом числа I и обозначают V.
=
зт I

соз I
соз I    зт I
Говоря о I, подразумевают, что сое I Ф О, т.е.
что IФ - + пк (см. пример 5а), а говоря о I, подразумевают, что 81П I Ф 0, т.е. что I Ф пк (см. пример 4а). Поэтому обычно определения I и сЬ§ I записывают так:
ВИИ    я
1§г = -, Где I Ф — + пк,
соз г    2
I ± ^ 003 I
с щг = ——, где I ф я к.
I _зт I_
Впредь, говоря о I или I, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент I принимает только допустимые значения:
я
IФ д + пк для I и I Ф пк для сЬ& I.
Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:
Четверть    1-я    2-я    3-я    4-я
1, с4е 1    +    -    +    -
Пример 6. Вычислить:
я    5я    я    5я
а)1§-; б)<#у; в)^^; г)с<#у.
в    мл    . я 72    Я 72
Р е ш е н и е. а) Имеем: зт ~ = — , со8~ = —
171
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Значит,
я 72 >/2 .
5тг 7з    1
б) Имеем: ат — = -—- , соа — = - (см. второй макет
рис. 101). Значит,
*8
3 2 ' 2
я    я
в)    Имеем: ат - = 1, соа - = 0. Значит,
сЩ = 0:1 = 0.
571    1    571
г)    Имеем: 81*1 ^г = ^    = ~~2~ втоР°^ макет — рис. 101). Значит,
5я V3 1
Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:
г    0    я 6    я 4    я 3    я 2
    0    7з 3    1    7з    -
    -    7з    1    7з 3    0
Свойство 1. Для любого допустимого значения I справедливы равенства'.
аёН)

172
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Доказательство. Воспользуемся тем, что соа (-(:) = сов I, а 81п (-1) = -81п I (см. свойство 1 из п. 1). Имеем:
сЪёН) --
вт(~1) _ - В1П I _ 8111 I соз(-4) соз I
соз(-4) соз I
зт(-г) - 8111 I
СОЗ I
соз I зтг
с1# и
Свойство 2. Для любого допустимого значения I справедливы равенства:
(I + л) =
Доказательство. Воспользуемся тем, что сое (г + я) = -соа а 81п (* + я) = -81п I (см. свойство 3 из п. 1). Имеем:
. . . 8111(4 + я) -81114 81114 ,
1ёи + л) = -= -- = -- = х&г,
соз(I + я) -соз I соз I
. , . соз(4 + я) -соз I соз I
+ 71) = ---- =- = - =
3111(4 + я) -31114 31114
Нетрудно доказать, что выполняются и такие равенства: (I + 2л) = 1,1ё (I - л) = I, Ц + 2л) = I
и вообще
/■-
(* + пк) = Ьё I, (I + пк) = I.
Пример 7. Вычислить:
а)1*
7я 3
; б)с1§
Р е ш е н и е. а) По свойству 1,
5я 4~' 7я 3
7я
у . Так как далее
7я 3
2л + -, то
7я

173
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением). Итак,
1*
5я
(
б)сЛв 4-    -
лись свойством 2). <■]
: 4 = ^ (здесь мы также воспользова-

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.