Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a
§ 19. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a
В примере 2 §16 мы не смогли решить три уравнения:
Два из них мы уже решили — первое в § 17 и второе в § 18, для этого нам пришлось ввести понятия арккосинуса и арксинуса. Рассмотрим третье уравнение х = 2. Графики функций у=tg х и у=2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид — абсцисса точки пересечения прямой у = 2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 90). Для числа х1 математики придумали обозначение агсtg 2 (читается «арктангенс двух»). Тогда все корни уравнения х=2 можно описать формулой х=агсtg 2 + пк. Что же такое агсtg 2? Это — число, тангенс которого равен 2 и которое принадлежит интервалу Рассмотрим теперь уравнение tg х = -2. Графики функций имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид абсцисса точки пересечения прямой у = -2 с главной ветвью тангенсоиды. Для числа х2 математики придумали обозначение агсtg(-2). Тогда все корни уравнения х = -2 можно описать формулой
Что же такое агсtg(-2) ? Это—число, тангенс которого равен -2 и которое принадлежит интервалу . Обратите внимание (см. рис. 90): х2 = -х2. Это значит, что агсtg(-2) = - агсtg 2. Сформулируем определение арктангенса в общем виде.
Определение 1. агсtg а (арктангенс а) — это такое число из интервала , тангенс которого равен а. Итак,
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения х=а: уравнение х = а имеет решения
Выше мы отметили, что агсtg(-2) = -агсtg 2. Вообще, для любого значения а справедлива формула
Пример 1. Вычислить:
Решение:
Пример 2. Решить уравнения:
Решение: а) Составим формулу решений:
Вычислить значение арктангенса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде. Ответ: Пример 3. Решить неравенства: Неравенство вида можно решать графически, придерживаясь следующего планам 1) построить тангенсоиду у = tg х и прямую у = а; 2) выделить для главной ветви тангейсоиды промежуток оси х, на котором выполняется заданное неравенство; 3) учитывая периодичность функции у = tg х, записать ответ в общем виде. Применим этот план к решению заданных неравенств.
Решение: а) Построим графики функций у = tgх и у = 1. На главной ветви тангенсоиды они пересекаются в точке
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена ниже прямой у = 1, — это интервал Учитывая периодичность функции у = tgх, делаем вывод, что заданное неравенство выполняется на любом интервале вида:
Объединение всех таких интервалов и представляет собой общее решение заданного неравенства. Ответ можно записать и по-другому:
б) Построим графики функций у = tg х и у = -2. На главной ветви тангенсоиды (рис. 92) они пересекаются в точке х = агсtg(-2).
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды
Рассмотрим уравнение с tg х=а, где а>0. Графики функций у=сtg х и у =а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид: х = х1 + пк, где х1 =агссtg а — абсцисса точки пересечения прямой у=а с главной ветвью тангенсоиды (рис. 93). Значит, агссtg a — это число, котангенс которого равен а и которое принадлежит интервалу (0, п); на этом интервале строится главная ветвь графика функции у =сtg х.
На рис. 93 представлена и графическая иллюстрация решения уравнения с1tg = -а. Графики функций у =сtg х и у = -а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид х = х2 + пк, где х2 = агссtg (- а) — абсцисса точки пересечения прямой у = —а с главной ветвью тангенсоиды. Значит, агссtg(-а) — это число, котангенс которого равен -а и которое принадлежит интервалу (О, п); на этом интервале строится главная ветвь графика функции У =сtg х.
Определение 2. агссtg а (арккотангенс а) — это такое число из интервала (0, п), котангенс которого равен а. Итак,
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения сtg х=а: уравнение ctg х = а имеет решения:
Обратите внимание (см. рис. 93): х2 =п-х1. Это значит, что
Пример 4. Вычислить:
Решение: а) Положим,
Уравнение сtg х=а практически всегда можно преобразовать к виду Исключение составляет уравнение сtg х =0. Но в этом случае, воспользовавшись тем, что можно перейти к уравнению соs x=0. Таким образом, уравнение вида х=а самостоятельного интереса не представляет.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|