Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Введение, окружность, вычитание, числовая окружность, математический язык

§ 1. Введение

В курсе алгебры 7—9-го классов вы изучали алгебраические функции, т.е. функции, заданные аналитическими выражениями, в записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение квадратного корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают связаны с функциями других классов, не алгебраическими. В школьном курсе математики это показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Мы приступаем сейчас к изучению тригонометрических функций.

Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая мгодель — числовая окружность, детальному изучению которой посвящен § 2, достаточно большой параграф. От- 4, неситесь к нему очень внимательно, поскольку, как показывает " опыт, учащийся, хорошо овладевший понятием «числовая окружность», свободно и непринужденно работающий с ней, достаточно уверенно обращается и с тригонометрическими функциями. Для облегчения восприятия материала о числовой окружности рассмотрим ряд вспомогательных геометрических примеров.

Пример 1. Дана окружность радиусом 1см. Чему равна длина окружности, ее половины, ее четверти?
Решение. Длина L окружности радиусом R вычисляется по формуле

В дальнейшем будем говорить об окружности, радиус которой равен масштабному отрезку, без указания конкретных единиц измерения. Радиус такой окружности считается равным 1, а саму окружность называют единичной. Мы все время будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры СА и 2)Б. Условимся называть дугу АВ (см. рис. 1) первой четвертью, дугу ВС — второй четвертью, дугу С2) — третьей четвертью, дугу ДА — четвертой четвертью. При этом, как правило, речь идет об открытых дугах, т.е. о дугах без их концов: например, первая четверть — это ду га АВ без точек А и В.

Пример 2. В единичной окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра: горизонтальный СА и вертикальный БВ. Дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р — на три равные части (рис. 2). Чему равны длины дуг АМ. МВ, АК, КР, РВ.АР и КМ?

Решение. Так как длина дуги АВ равна

Если дуга АВ разбита на три равные части точками  К и Р,то длина каждой полученной части равна

Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной
Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги АМ отбрасыванием дуги АК. Значит, длина дуги КМ равна разности длин дуг АМ и АК. Таким образом,

Замечание. Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании алгебраического языка. Ясно, что дуга КМ и длина дуги КМ — разные вещи (первое понятие — геометрическая фигура, а второе понятие — число). А обозначается и то, и другое одинаково: КМ. Более того, если точки К и М соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: КМ. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).

А теперь еще раз взгляните на рис. 1. Сколько вы видите дуг единичной окружности, соединяющих точки А и Б? Две: поменьше, если идти от точки А к точке Б по первой четверти, и побольше, если идти от точки В к точке А по второй, третьей и четвертой четвертям. Как же отличать эти дуги друг от друга в символах математического языка? Условимся в двухбуквенном обозначении дуги на первом месте писать букву, соответствующую началу дуги, а на втором — букву, соответствующую концу дуги, причем движение по окружности от начала дуги к ее концу будем осуществлять в направлении против часовой стрелки. Тогда меньшая из двух дуг, соединяющих точки А и Б, о которых мы говорили выше, — это дуга АВ, а большая — это дуга БА.

Пример 3. Вторая четверть единичной окружности разделена пополам точкой М (рис. 3), а четвертая четверть разделена на три равные части точками КиР. Чему равны длины дуг АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?

Решение. Прежде чем переходить к требуемым вычислениям, заметим, что

Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг выражались некоторыми долями числа я? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2я, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа я. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:

Обратимся снова к рис. 2. Если АЕ = 1, то точка Е находится между точками М и Р, ближе к точке Р. Разумеется, точно (а не приблизительно) указать положение точки Е на окружности мы не сумеем, но это, впрочем, не так уж важно.

Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Е₁, для которой АЕ₁ = 1, и точку Е₂, для которой АЕ₂= 2, и точку Е₃, для которой АЕ₃ = 3, и точку Е₄, для которой АЕ₄ = 4, и точку Е₅, для которой АЕ₅ = 5, и точку Е₆, для которой АЕ₆ = 6. На рис. 4 отмечены (приблизительно) соответствующие точки, причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике видео  скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.