Гіпермаркет Знань>>Математика>>Математика 5 клас>>Об'єм прямокутного паралелепіпеда, куба. Практична робота.

25. Прямокутний паралелепіпед
Чимало предметів, які існують довкола тебе: цеглина, сірникова коробка, пенал, ящик для посилок тощо, мають схожу форму. Вони дають уявлення про геометричне тіло, яке називають прямокутним паралелепіпедом (рис. 94).
Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із шести прямокутників, які називають його гранями. Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні між собою. На рисунку 80 протилежними є грані ABCD і KLMN, AKND і BLMC, AKLB і DNMC. Грані ABCD і KLMN називають ще основами прямокутного паралелепіпеда. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі площ його граней.

Сторони прямокутників, які є гранями прямокутного паралелепіпеда, називають його ребрами. Усіх ребер є 12, по 4 рівних між собою. На рисунку 94: AD = ВС = LM= KN; AB = DC = NM= KL; AK = BL = CM= DN. Ребра AK, BL, CM і DN ще називають висотами прямокутного паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед має довжину, ширину і висоту (рис. 95). їх називають вимірами прямокутного паралелепіпеда і вони дорівнюють довжинам трьох ребер, що виходять з однієї вершини.

Якщо всі виміри прямокутного паралелепіпеда рівні між собою, то такий паралелепіпед називають кубом (рис. 96). Усі шість граней куба — рівні між собою квадрати; усі 12 ребер — рівні між собою відрізки.

Нехай прямокутний паралелепіпед має довжину 4 см, ширину 3 см і висоту 2 см. На рисунку 97 зображена його розгортка.

Як знайти площу поверхні цього паралелепіпеда? Оскільки протилежні грані прямокутного паралелепіпеда
рівні прямокутники, то
S = 2 • (2 • 4 + 3 • 4 + 3 • 2) = 2 • (8 + 12 + 6) = 2 • 26 = 52 (см2).

Прочитай
Накреслити розгортку куба з ребром 2 см та знайти площу його поверхні.

S = 6 • (2 см • 2 см) = 6 • 4 см2 = 24 см2.

Усно
605.     На рисунку 99 зображено прямокутний паралелепіпед.
а) Назви ребра паралелепіпеда, які дорівнюють довжині ребра AD; ребра CD; ребра CN.
б) Користуючись даними на рисунку, вкажи виміри паралелепіпеда та довжину кожного ребра.
в) Назви рівні між собою грані цього паралелепіпеда.
г) Знайди площі граней ABCD, EFNM, CNMD, ADME, BCNF, ABFE.

Рівень А
606.     Знайди площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, зображеного на рисунку 99.
Знайди площу поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами 10 см, 12 см і 8 см.

608Л   Знайти площу поверхні сірникової коробки.
Знайди площу розгортки куба з ребром 12 дм.

Знайди суму довжин усіх ребер куба і площу його поверхні, якщо довжина ребра дорівнює 8 см.

Із дроту виготовили каркас прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 2 дм, 8 см і 5 см. Скільки дроту витратили на його виготовлення? Щоб склеїти прямокутний паралелепіпед, з картону вирізали його розгор-тку (рис. 100). Обчисли площу розгортки, виконавши необхідні вимірювання. Які пари прямокутників рівні між собою?

Рівень Б
Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 48 см. Знайди суму довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини.

На виготовлення дротяного каркасу прямокутного паралелепіпеда використали 84 см дроту. Довжини двох ребер, які виходять з однієї вершини, дорівнюють 10 см і 3 см. Знайди довжину третього ребра, яке виходить із
цієї ж вершини.

Сума трьох вимірів прямокутного паралелепіпеда дорівнює 64 см, до того ж, довжина удвічі більша від ширини, а висота дорівнює ширині. Знайди площу поверхні цього паралелепіпеда.

Здогадайся
616.     Який із трьох кубиків має вказану розгортку (рис. 101)?

Вправи для повторення

Виконай дії:
а) 106 236 : 52 + 15 957;        6)223 • 17 + 351 - 17-77
в) (468 • 27 - 368 • 27) : 18;       г) (35 754 : 59-589) • 17.

Як зміниться різниця, якщо зменшуване збільшити на 11, а від'ємник зменшити на 11 ?

За 5 год оператор набрав на комп'ютері 20 сторінок. За скільки годин він набере а сторінок? Запиши розв'язок задачі у вигляді буквеного виразу і знайди його значення, якщо а = 8; а = 36.

26. Об'єм прямокутного паралелепіпеда
У твоїй кімнаті є чимало речей: стіл, крісло, шафа, книжки тощо. Усі вони займають у кімнаті якусь частину простору. Кажуть, що кожна з ЦИХ речей має певний об'єм. Коробка, що лежить у шафі, займає меншу частину простору, ніж шафа, тому об'єм коробки менший від об'єму шафи. Дві однакові коробки мають рівні об'єми. Об'єм шафи, що складається з двох секцій, дорівнює сумі об'ємів її секцій.

Знаходять об'єм за допомогою одиничного куба, тобто куба, ребро якого дорівнює одиниці вимірювання довжини: 1 мм, 1 см, 1 м тощо. Якщо ребро куба дорівнює 1 см, то його об'єм дорівнює 1 кубічному сантиметру. Кубічний сантиметр можна записати так: см . Якщо ребро куба дорівнює 1 м, то його об'єм — 1 м3.

Щоб знайти об'єм деякого тіла, потрібно дізнатися, скільки однакових одиничних кубів уміститься у даному тілі.
Розглянемо прямокутний паралелепіпед з вимірами 6 см, 4 см і 3 см (рис. 102).

Підрахуй, скільки одиничних кубів з ребром 1 см, тобто кубів з об'ємом 1 см3, вміститься в цьому прямокутному паралелепіпеді.

Обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда
«Дно» паралелепіпеда — це шар, який містить 4 однакових ряди по 6 однакових кубів у кожному, тобто на «дні» паралелепіпеда вміститься 6 • 4 однакових кубів. Таких шарів, кожний з яких має 6 • 4 однакових кубів, у паралелепіпеді вміститься 3. Отже, паралелепіпед умістить 6 • 4 • 3 = 72 однакових куби з ребром 1 см, тому об'єм Vпаралелепіпеда дорівнює 72 см". Пишуть:
V= 6 см • 4 см • 3 см = 72 см3.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів, тобто
V=abc,
де а,Ь\с — виміри паралелепіпеда (рис. 103 а).
Об'єм куба, ребро якого дорівнює а (рис. 1036), обчислюється за'фор-мулою:
V = а • а • а; тобто: V = а .

Якщо ребро куба дорівнює 1 м, то матимемо: К=1м1м-1м = 1м3. Якщо ребро куба дорівнює 4 см, то V= 4 см • 4 см • 4 см = 64 см3.

Формула для об'єму куба дозволяє знайти співвідношення між одиницями об'єму. Нехай ребро куба дорівнює 1 м, тоді його об'єм дорівнює 1 м3. Оскільки 1м = 10дм, то об'єм цього куба в кубічних дециметрах дорівнює 10 дм • 10 дм • 10 дм = 1000 дм3. Отже, 1 м3 = 1000 дм3.

Співвідношення між одиницями вимірювання об'єму:
1 м3 =   1000 000 см3
Для вимірювання об'єму рідин використовують одиницю об'єму — літр: 1 л=1 дм3 = 1000 см3.

Для тих, хто хоче знати більше
Якщо у прямокутному паралелепіпеді довжина дорівнює а, ширина — Ь, то добуток аЬ — це площа основи паралелепіпеда. Позначимо цю площу буквою S, а висоту паралелепіпеда — буквою Н. Тоді V- abH= SH. Отже,
де 5 — площа основи паралелепіпеда, Н — його висота.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи та висоти.

Прочитай
Знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 1 дм, 5 см і З см.
• 1 дм = 10 см; V= 10 • 5 • 3 = 150 (см3).

Усно
620.      Знайди об'єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 2 см, 3 см і 5 см.
621.      Знайди об'єм куба з ребром 3 см.

Рівень А
622.      Знайди об'єм куба, ребро якого дорівнює: а) 6 дм; б) 5 см; в) 7 м. Знайди об 'єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого:
623.      а) 20 см, 3 дм і 12 дм;    б) 8 дм, 1 м, 70 см.
624.   а) 12 см, 8 см і 24 см;
б) 40 мм, 5 см, 1 дм.

Рівень Б
3  дерев'яного бруска завдовжки 9 см, завширшки 7 см і заввишки 5 см вирізали куб з ребром 5 см. Який об'єм частини бруска, що залишилася? Куб і прямокутний паралелепіпед мають рівні об'єми. Знайди ребро куба, якщо виміри прямокутного паралелепіпеда 2 см, 4 см і 8 см.

Ящик, що має форму прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 30 см, 42 см і 24 см, заклали кубиками з ребром 3 см. Скільки кубиків у ящику? Прямокутний паралелепіпед, виміри якого 12 см, 16 см і 20 см, склали із 480 однакових кубиків. Знайди ребро кубика. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 128 см3, а його вис^а —
4 см. Знайди площу основи паралелепіпеда.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 240 см , довжина — 8 см, ширина — 6 см. Знайди площу основи і висоту паралелепіпеда.

631. В акваріум, що має форму прямокутного паралелепіпеда завширшки ЗО см і завдовжки 40 см, Оля вилила 6 відер води по 6 л у кожному. Вимірюючи глибину води, вона опустила вертикально до дна акваріума паличку завдовжки 28 см, тримаючи її за вершок. Чи намочила Оля руку?

Здогадайся
На грані кубика нанесено цифри 0, 1, 4, 5, 6 і 8. На рисунку 104 показано три положення цього кубика. Яку цифру нанесено на нижній грані у кожному з положень?

Вправи для повторення
Спрости вираз:
а) 8 • а • 25 + 14 + 38;                         б) За + lb - а + 2Ь + 10а.

Із двох міст, відстань між якими 42 км, одночасно виїхали назустріч один одному велосипедист і мотоцикліст. Через годину вони зустрілися. Знайди швидкість велосипедиста, якщо вона вдвічі менша від швидкості мотоцикліста. З міста А до міста В одночасно виїхали два автомобілі, один зі швидкістю 85 км/год, а інший — 73 км/год. Яка відстань буде між ними через 1 годину, через 2 год? Розв'яжи задачу двома способами.

З міста А до міста В одночасно виїхали легковий та вантажний автомобілі. Швидкість легкового автомобіля 80 км/год, а вантажного — 60 км/год. Коли легковий автомобіль прибув до міста В, то вантажному залишилося проїхати ще 60 км. Знайди відстань між містами.

Пам'ятка до §3
AB + ВС + АС = Р — периметр трикутника ABC, сума всіх його сторін

ААВС = AKLM, AB = KL,BC = LM, AC = KM, ZA = ZK, ZB = ZL, ZC = ZM.

Запитання для самоперевірки і повторення
1.          Які властивості має прямокутник?
2.          Які властивості має квадрат?
3.          Як обчислити периметр прямокутника; квадрата?
4.          Що називають периметром трикутника?
5.          Які ти знаєш види трикутників?
6.          Які фігури називають рівними?
7.          Наведи приклади величин. Які ти знаєш властивості величин?
8.          Як обчислити площу прямокутника; квадрата?
9.          Які властивості має прямокутний паралелепіпед?
10.        Які властивості має куб?
11.        Як обчислити об'єм прямокутного паралелепіпеда; куба?

Завдання для самоперевірки
І рівень
1.         Назви фігури, зображені на рисунку.
2.          Периметр квадрата зі стороною 6 см дорівнює...
а) 6 +6 = ...;                   6)6-2 = ...;                    в) 6-4=....
3.          Зображений на рисунку до задачі 1 трикутник є...
4.          Які числа потрібно поставити замість крапок, щоб рівності були правильними: а) 2 р. = ... міс;              

б)2дм = ...см;               в)1ц = ...кг?
5.          Площа прямокутника зі сторонами 11 см і 10 см дорівнює...
а) 11+ 10 = ...;                6)11-10 = ...;                 ш) (11 + 10) • 2 = ... .
6.          Площа квадрата зі стороною 5 см дорівнює...
а) 5-2 = ...;                     6)5-4 = ...;                    в)5-5 = ....

II рівень
7.          Накресли трикутник, один з кутів якого дорівнює 40°.
8.          Довжина прямокутника дорівнює 85 см, а його ширина — 60 см. Знайди периметр і площу прямокутника.
9.          Знайди об'єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 22 см, 15 см і 10 см.

III рівень
10.        Відомо, що ААВС = AMNK, АВ = 11 см, ВС = 8 см, АС = 9 см. Знайди периметр трикутника MNK.
11.        Площа прямокутника, дорівнює 1092 см2, а одна з його сторін — 42 см. Знайди периметр прямокутника.
12.        Чи можна в акваріум, розміри якого дорівнюють 25 см, 32 см і 4 дм, влити 35 л води?

IV рівень
13.        Прямокутник, сторони якого дорівнюють 37 см і 28 см, і квадрат мають рівні периметри. Знайди сторону квадрата.
14.        Накресли трикутник, два кути якого дорівнюють по 55°. Виміряй третій кут.
15.        Ящик розмірами 24 см х 15 см х 20 см дощенту наповнений піском. Яка маса піску в ящику, якщо 10 см3 піску має масу 15 г?

Завдання для повторення розділу І
637.      Запиши всі трицифрові числа, у яких число десятків на 2 більше, а число сотень — удвічі більше ніж число одиниць.

638.      Запиши всі п'ятицифрові числа, менші від 10 101, які закінчуються цифрою 8.

639.      Запиши всі шестицифрові числа, більші від 999 898, які закінчуються цифрою 5.

640.      Скільки двоцифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 1, 3, 5, 7 і 9?

641.      Постав замість зірочок цифри так, щоб нерівність була правильною: а) 4587 < **9* < 45*2;                      

б) 12 888 < 12 *89 < 12 **1.

642.      Запиши спочатку всі відрізки, а потім усі промені, зображені на рисунку 105.

643.      Сума довжин двох відрізків дорівнює 15 см, до того ж, один з них на 3 см коротший від іншого. Знайди довжини цих відрізків і побудуй їх.

Один з відрізків удвічі коротший від іншого, а сума їхніх довжин дорівнює 12 см. Знайди довжини цих відрізків і побудуй їх.

Квадрат, зображений на рисунку 106, має таку властивість: сума чисел у кожному рядку, стовпці та по діагоналях дорівнює одному й тому ж числу. Такий квадрат називають магічним.

Впиши в порожні клітини квадратів (рис. 107) такі числа, щоб квадрати стали магічними.

Склади магічний квадрат, відмінний від зображеного на рисунку 106, вписавши в його клітини числа від 1 до 9. Вказівка. У центрі запиши цифру 5. Знайди пропущені числа:

Один доданок збільшили на 207, а інший зменшили на 99. Як при цьому змінилася сума?
Один доданок зменшили на 111. Як потрібно змінити інший доданок, щоб сума збільшилася на 79?
Зменшуване зменшили на 103, а від'ємник збільшили на 77. Як при цьому змінилася різниця?

Запиши число 2079:
а) у вигляді суми двох чотирицифрових чисел;
б) у вигляді суми трьох трицифрових чисел.
За яким правилом записаний ряд чисел 1, 4, 8, 13, ... ? Запиши наступні три числа.

Обчисли:
653.      а) 102 • 27+ 1704 : 142;                     6)1021-735:21+953; в) 8874 : 87 + 92 • 203;                       г) 68890 : 83 - 1540 : 11.
654.      а) (579+ 1593 : 27) -40;                     б) (349-4590 : 45) • 109; в) (17432-56-223): 16+1947;            г) 1530 : (12 • 6-38) • 15;
д) 203 • 97 - (11923 - 7927) : 108;       є) (1519 - 637) : 42 + 302 • 60.

Знайди значення виразу:
655.      а) 504-372-(972-156): 17;
б) 596-702-(1537 + 4895): 32;
в) (325 • 64-208 • 64 + 751 • 64): 32;
г) 5768: 56+11 536 : 56- 103 • (1001 -998).

656.      Спрости вираз і знайди його значення:
а) (54+ 146) -а- 100а, якщо а= 172; а= 15 461; а= 170 000;
б) 25л: + 125х - 375 + 850х, якщо х= 30; х= 475;
в) 44а • 256 + 86 • 125а, якщо а = 16,6 = 25.

657.      Порівняй значення виразів: 1026-84-70 005 і 9090:45 + 14 977.

658.      Місяць здійснює повний оберт навколо Землі за 27 діб 7 годин 43 хвилини 11 секунд. Скільки секунд триває повний оберт?

659.      Накресли всі прямокутники з периметром 16 см, довжини сторін яких дорівнюють цілому числу сантиметрів. Знайди площі всіх цих прямокутників. Які сторони має прямокутник, площа якого є найбільшою?

660.      Накресли всі прямокутники з площею 16 см", довжини сторін яких дорівнюють цілому числу сантиметрів. Знайди периметри всіх цих прямокутників. Які сторони має прямокутник, периметр якого є найменшим?

661*. Накресли два прямокутники ABCD і EFKM такі, щоб периметр прямокутника ABCD був меншим від периметра прямокутника EFKM, а його площа була би більшою від площі прямокутника EFKM.

662.      Господар зібрав у саду яблук утричі більше, ніж груш, до того ж, яблук було зібрано на 196 кг більше, ніж груш. Скільки яблук зібрав господар?

663.      Сума двох чисел дорівнює 157, до того ж, одне з них більше від іншого на 43. Знайди ці числа.

664.      Чи встигне Оксанка прочитати за 2 години 50 сторінок книжки, якщо за 5 хв вона може прочитати 2 сторінки?

665.      За 1 секунду перед очима глядача проходить 24 кадри мультфільму. Скільки кадрів у десятихвилинному мультфільмі? Яка довжина плівки такого фільму, якщо довжина одного кадру дорівнює 16 мм?

666.      За 28 год роботи один оператор набирає 140 сторінок тексту, а інший — 84 сторінки. За який час вони наберуть 256 сторінок тексту, працюючи разом?

667.      З пункту А до пункту С ведуть різні дороги (рис. 108). Скількома маршрутами можна проїхати з пункту А до пункту С? Яка довжина найкоротшого маршруту?

668.      З міста А до міста В, відстань між якими 68 км, виїхав перший велосипедист зі швидкістю 14 км/год. Через годину назустріч йому з міста В виїхав другий велосипедист зі швидкістю 13 км/год. Через який час після виїзду другого велосипедиста вони зустрінуться?

669.      З міст А і В, відстань між якими 40 км, одночасно виїхали до міста С легковий і вантажний автомобілі. Легковий автомобіль виїхав з міста А, і його шлях пролягав через місто В. Знайди швидкість легкового автомобіля, якщо швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год, і через 2 год руху автомобілі одночасно прибули до міста С.

670.       О 9 год з міста виїхав автобус зі швидкістю 60 км/год, а через 1 год 30 хв услід за ним виїхав автомобіль зі швидкістю 90 км/год. О котрій годині автомобіль наздожене автобус?

671.       Моторний човен пройшов шлях від пристані А до пристані В за течією річки за 2 год. Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 15 км/год, а швидкість течії річки — 3 км/год. За який час човен пройде шлях від пристані В до пристані А?

672.       Із трьох полів зібрали 24 т 800 кг сіна. З першого та другого полів сіна зібрали порівну, а з третього — на 500 кг більше, ніж з першого. Скільки сіна зібрали з кожного поля?

673. У чотирьох ящиках є 59 кг груш. У першому ящику 11 кг груш, у другому стільки груш, скільки у третьому, а в четвертому — на 3 кг більше, ніж у третьому. Скільки груш у четвертому ящику?

Продовж розв 'язання задачі:
1) 59 - 11 = 48 (кг) груш у другому, третьому та четвертому ящиках разом.
2) 48 - 3 = 45 (кг) груш було б у другому, третьому та четвертому ящиках разом, якби у ...

674.    На трьох полицях міститься 156 книжок. На другій полиці — на 41 книжку більше, ніж на першій, а на третій — на 5 книжок більше, ніж на другій. Скільки книжок міститься на кожній полиці? Скористайся схемою:

675. У гірлянді 44 прапорці червоного, синього, зеленого та жовтого кольорів. Прапорців червоного, синього і зеленого кольорів разом 37 штук; синього, зеленого і жовтого — 29 штук; червоного, зеленого і жовтого — 32 штуки. Скільки у гірлянді прапорців кожного кольору окремо?

676. Стрічку завдовжки 22 м потрібно розрізати на дві частини так, щоб число, яке виражає довжину більшої частини в метрах, дорівнювало числу, що виражає довжину меншої частини в дециметрах. Як це зробити?

Г. Янченко, В. Кравчук "Математика 5 клас"

Надіслано читачами з інтернет-сайту

_{Повний перелік тем по класам, календарний план згідно шкільної програми з математики, курси та завдання із математики 5 класу}

Зміст уроку
 конспект уроку і опорний каркас                      
 презентація уроку 
 акселеративні методи та інтерактивні технології
 закриті вправи (тільки для використання вчителями)
 оцінювання 

Практика
 задачі та вправи,самоперевірка 
 практикуми, лабораторні, кейси
 рівень складності задач: звичайний, високий, олімпійський
 домашнє завдання 

Ілюстрації
 ілюстрації: відеокліпи, аудіо, фотографії, графіки, таблиці, комікси, мультимедіа
 реферати
 фішки для допитливих
 шпаргалки
 гумор, притчі, приколи, приказки, кросворди, цитати

Доповнення
 зовнішнє незалежне тестування (ЗНТ)
 підручники основні і допоміжні 
 тематичні свята, девізи 
 статті 
 національні особливості
 словник термінів                          
 інше 

Тільки для вчителів
 ідеальні уроки 
 календарний план на рік 
 методичні рекомендації 
 програми
 обговорення

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.