Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Обобщение понятия о показателе степени

§ 43. Обобщение понятия о показателе степени

Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:

Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 2⁵, З^-0'3 и т.д.

Зададимся вопросом: если вводить символ то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:

Положим Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а⁵=2³, откуда получаем Значит, появились основания определить

Подобные соображения и позволили математикам принять следующее определение.

Определение 1. Если

Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются и т.д. Пусть, например, нам нужно выполнить умножение

Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения вернемся к примеру Если перейти к дробным показателям, то получим:

Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же результат, что и в § 42.
Пример 1. Вычислить:
Решение.

г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (и это оговорено в определении). Так что запись вида считается в математике лишенной смысла. 
Замечание. Иногда приходится слышать возражения: неверно, что запись лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из числа -8; получится Так почему бы не считать, что

Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:

Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось ограничение а в определении степени с положительным дробным показателем
Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:

Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а= 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.

Определение 2. Если

Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, b> 0, s и t — произвольные рациональные числа):

Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.

Пример 2. Упростить выражение:

Решение.

Пример 3. Решить уравнения:
Решение: а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:

х²=1,

х = ±1.
б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.
Ответ: а) ±1; б) 1.

Пример 4. Решить уравнение:
Решение. Введем новую переменную
Значит, получаем квадратное уравнение относительно новой переменной у:

у² -2у-8 = 0.

Решив это уравнение, получим: у₁ =-2, у₂ =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:

Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях определяется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно  находим:

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
—    метод введения новых переменных;
—    функционально-графический метод.

Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.