KNOWLEDGE HYPERMARKET


Первые представления о решении рациональных уравнений

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Первые представления о решении рациональных уравнений


Первые представления о решении рациональных уравнений


Если р (х) — рациональное выражение, то уравнение р (х) = 0 называют рациональным уравнением. Далеко не любое рациональное уравнение мы с вами сможем решить уже сейчас, для этого надо изучить другие разделы алгебры. Но справиться с некоторыми рациональными уравнениями нам уже по силам.

Пример 1. Решить уравнение

Уравнение

Решение. Выполним действия в левой части уравнения, для чего сначала приведем имеющиеся дроби к общему знаменателю 20:

Задание

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде

Задание

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем

Задание

Ответ:Ответ

Пример 2. Решить уравнение

Задание

Решение. Равенства А = ВиА- В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Учитывая это, перепишем данное 
уравнение в виде

Задание

Это — рациональное уравнение. Выполним преобразования его левой части:

Задание

В итоге мы приходим к уравнению

Задание

Снова воспользуемся условиями равенства дроби нулю (они сформулированы в ходе решения примера 1). Получаем

2х -5 = 0;      2x = 5;       x = 2,5.

Но не забудьте, что условий равенства дроби нулю — два: равенство нулю числителя (этим мы уже воспользовались) и отличие от нуля ее знаменателя. Это второе условие надо проверить.

Если х = 2,5, то знаменатель (х - 3) (x + 3) отличен от нуля.

Все в порядке, х = 2,5 — корень уравнения.

О т в е т: х = 2,5.

К обоим условиям равенства дроби 11-06-77.jpg нулю надо относиться одинаково уважительно, т. е. сначала надо воспользоваться условием а = 0, а затем не забыть проверить условие 11-06-78.jpg. Решим, например, уравнение

Задание

Приравняв числитель к нулю, получим х - 1 = 0, т. е. x = 1. Теперь подставим значение х ~ 1 в знаменатель. Получим нуль, а на нуль делить нельзя. Что это значит? Это значит, что х = 1 не является корнем уравнения, т. е. заданное уравнение вообще не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение Задание.
Решение. Имеем

Задание

Выполним преобразования левой части уравнения:

Задание

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде

Задание

Первое условие равенства дроби нулю приводит к уравнению 2х (8 - х) = 0, откуда получаем 2х = 0 или 8 - х = 0, т. е. х = 0 или x = 8.

Второе условие равенства дроби нулю обязывает нас поочередно подставить найденные значения х = 0 и х = 8в знаменатель. Поскольку ни при х = 0, ни при х = 8 знаменатель не обращается в нуль, оба значения являются корнями уравнения.

О т в е т: 0, 8.

Пример 4. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели.

Этот этап нами уже выполнен ранее — см. пример 2 из § 1. Математическая модель задачи — уравнение

Задание

где х км/ч — собственная скорость лодки.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

В § 1 мы этого сделать не смогли. Теперь мы с вами знаем побольше, и эту модель, т. е. это уравнение, уже решили выше в примере 3. Получили х — 0 или х = 8.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Нужно выяснить, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему равно значение х? Мы получили, что либо х = 0, либо х = 8. Первое значение нас явно не устраивает: собственная скорость лодки не может быть равной 0 км/ч. Второе значение нас устраивает.

Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.