Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Первые представления о решении тригонометрических уравнений

§16. Первые представления о решении тригонометрических уравнений

В главе 1 мы научились решать некоторые тригонометрические уравнения вида где а — действительное число. Например, мы знаем, что уравнения sin t = а и соs t =а не имеют решений, если а < -1 или а > 1, поскольку область значений функции s = sin t, равно как и функции s= соs t, есть отрезок [-1,1].

Напомним, как мы решали тригонометрические уравнения.
Пример 1. Решить уравнения:
Решение: а) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 69). Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой (они лежат на прямой

В итоге получаем две серии решений уравнения:

Обобщая, это можно записать так:

б) Используем геометрическую модель — числовую окружность на координатной плоскости (рис. 70). Отметим на окружности точки М и Р с ординатой - Точка М соответствует значению —, т.е. всем числам вида Точка Р соответствует значению —

В итоге получаем две серии решений уравнения:
Решали мы и некоторые уравнения вида tg x =a, сtg х=а, используя для этого графики функций у = tg x, y = ctg x.  Так, в § 15 мы, решив уравнение 
Впрочем, и уравнения вида sin  х=а, соз х =а тоже можно решать графическим методом.
А как вы считаете, любое ли уравнение вида можно решить графически или с помощью числовой окружности? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример.

Пример 2. Решить уравнения:
Решение: а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0,4 и записать, каким числам X они соответствуют. Абсциссу 0,4 имеют точки МиР (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнений мы пока не можем.

б) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой - 0,3 и записать, каким числам X они соответствуют. Ординату - 0,3 имеют точки ЬиИ (рис. 71), но каким числам X они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы тоже пока не можем.

в) Графики функций у = tg х и у = 2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид абсцисса точки пересечения прямой у =2 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 72). Но что это за число х0, мы не знаем. Так что и тригонометрическое уравнение х = 2 мы пока решить не можем.   

К уравнениям из примера 2 мы вернемся после того, как заложим необходимую теоретическую базу.
Итак, пока мы в состоянии решить тригонометрическое уравнение вида sin t =а, соs t =а только для конкретных значений а:

эти уравнения не имеют решений. Уравнения вида tg=а, сtg х =а мы тоже в состоянии решить пока только для конкретных значений а:

Но даже с помощью этого небольшого запаса знаний мы уже теперь можем решать некоторые более сложные уравнения.
Пример 3. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную z = sin t. Тогда уравнение примет вид

Первое из этих уравнений не имеет решений (вспомните почему), а для второго с помощью числовой окружности (рис. 73) находим две серии решений:

Пример 4. Решить уравнение  

Решение. Воспользуемся тем, что   Тогда заданное Уравнение можно переписать в виде:

После понятных преобразований получим:

Введем новую переменную z =соs x. Тогда уравнение примет вид , откуда находим Первое из этих уравнений было решено в § 4 (см. пример 7): x= 2sin. Для второго уравнения с помощью числовой окружности (рис. 74) находим две серии решений:

Ответ:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.