Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Переход к новому основанию логарифма

§ 53. Переход к новому основанию логарифма

Логарифмических функций бесконечно много: и т.д. Возникает вопрос, как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log₂ х и y=log₃ x? На рис. 231 изображены графики функций у=log₂ х и у=log₃ х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:

Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.

Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log₂ х и у =log₃ х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:

Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение

;

подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку log₂ 3 > 1.

Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:

Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:

Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим:

Следствие 2. Если а и b — положительные числа, причем , то для любого числа справедливо равенство:

Доказательство. Перейдем в выражении к логарифмам по основанию а:

Пример 1. Дано:

Решение.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:

Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме:

Ответ: х = 3.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.