Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Подобие правильных выпуклых многоугольников

Подобие правильных выпуклых многоугольников

Теорема 13.4. Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р₁: А₁А₂...А_n, P₂: B₁B₂...B_n — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.

Треугольники А₁А₂А₃ и В₁В₂В₃ равны по первому признаку. У них А₁А₂=В₁В₂, А2Аз = В2Вл и А₁А₂А₃= В₁В₂В₃.
 



Подвергнем многоугольник P₁ движению, при котором его вершины А₁А₂А₃ переходят в вершины В₁В₂В₃ соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А₄ перейдет в некоторую точку С. Точки В₄ иС лежат по одну сторону с точкой В₁ относительно прямой В₂В₃. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то В₂В₃С= В₂В₃В₄ и В_ЗС=В_ЗВ₄- А значит, точка С совпадает с точкой В₄. Итак, при нашем движении вершина А4 переходит в вершину В₄. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В₅ и т. д. То есть многоугольник Р₁ переводится движением в многоугольник Р₂, а значит, они равны.

Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P₁ преобразованию подобия, например  в гомотетии,  с  коэффициентом  подобия  -.  При  этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р₂.

По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P₂, а значит, многоугольник Р₁ переводится в многоугольник Р₂ преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.

У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Планирование по математике , учебники и книги онлайн, курсы и задачи по математике для 9 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.