Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Преобразование выражений, содержащих радикалы
§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы
В 7-м и 8-м классах вы выполняли преобразования рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного умножения и т.д. В 8-м классе вы изучили новую операцию — операцию извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и, используя свойства квадратных корней, выполняли преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В предыдущих параграфах мы познакомились с операцией извлечения корня п-й степени из действительного числа, изучили свойства этой операции, а именно (для неотрицательных значений а и b):
Используя эти формулы, можно осуществлять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения корня (выражений с радикалами), — такие выражения называют иррациональными. Рассмотрим несколько примеров на преобразования иррациональных выражений. Пример 1. Упростить выражения: 
Решение: а) Представим подкоренное выражение 32а5 в виде 16- а4- 2а и воспользуемся формулой (2); получим:  Полученное выражение считается более простым, чем заданное, поскольку под знаком корня содержится более простое выражение. Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак радикала. б) Воспользовавшись формулой (4), получим:
 Представим подкоренное выражение а10 в виде а9 -а и воспользуемся формулой (2); получим:
 Как видите, и здесь удалось вынести множитель за знак радикала.
Вспомните формулу которую вы изучали в курсе алгебры 8-го класса. Она обобщается на случай любого четного показателя корня  Эту формулу следует иметь в виду в тех случаях, когда нет уверенности в том, что переменные принимают только неотрицательные значения. Например, вынося множитель за знак корня в выражении , следует (если о знаке числа х ничего не известно) рассуждать так:
 Наряду с вынесением множителя за знак радикала в необходимых случаях используется и преобразование, так сказать, противоположной направленности: внесение множителя под знак радикала. Это преобразование мы используем в следующих двух примерах. Пример 2. Сравнить числа  Решение. Имеем:
Пример 3. Упростить выражение  Решение. Сначала внесем множитель х1 под знак корня 3-й степени:
 Теперь заданное выражение можно записать так:  Воспользовавшись формулой (5), мы можем последнее выражение записать в виде
 Пример 4. Выполнить действия:
 Решение: а) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность квадратов»:
 Воспользовавшись формулой (6), разделим в каждом из полученных радикалов показатели корня и подкоренного выражения на 2; это существенно упростит запись:
б) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность кубов»:
 Пример 5. Выполнить действия:
 Решение: а) Поскольку перемножать можно корни только одной и той же степени, начнем с уравнивания показателей у имеющихся радикалов. Для этого дважды воспользуемся формулой (6):
 А теперь воспользуемся формулой (2):
 Осталось вынести множитель за знак радикала:
 б) Первый способ. Преобразуем первый множитель в корень 4-й степени:
 Второй способ. Сначала поработаем с подкоренным выражением во втором множителе. Имеем:
 Разделив показатели корня и подкоренного выражения на 2, получим: (формулой (6) мы здесь имеем право пользоваться, поскольку подкоренное выражение — положительное число). Осталось выполнить умножение квадратных корней:
 Пример 6. Разложить на множители: 
Решение. Заданное выражение можно переписать следующим образом:  Теперь видно, что это — полный квадрат, квадрат разности выражений  Окончательно получаем:
 Пример 7. Сократить дробь  Решение. Первый способ. Знаменатель дроби можно преобразовать следующим образом:
 Значит, есть резон представить числитель как «разность квадратов»:
 Далее, имеем:
 Второй способ. Введем новые переменные:
Что дала нам замена переменных? Она позволила заменить иррациональное выражение (с переменными х и у) рациональным выражением (с переменными а и b). А оперировать с рациональными выражениями намного проще, чем с иррациональными. Имеем:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|