Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

§ 26. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы мы должны помнить, как таблицу умножения? Отвечаем: запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в тексте? Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на практике. Главное — выписать нужные формулы, удачно их расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометрический пример. В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».

В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

1. Сумма синусов

Рассмотрим выражение Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:

Положим в этой формуле х = s+t, у = s-t. Если эти равенства сложить, получим Если же из первого равенства вычесть второе, получим А теперь заменим в формуле

  Тогда форму ла  примет вид

2. Разность синусов
Воспользовавшись тем, что  и полученной в п. 1 формулой суммы синусов, находим, что

3. Сумма косинусов
Рассмотрим выражение соs (s+t)+соs (s-t). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Итак, соз (s +t)+соз (s-t) = 2соз s соз t. Положив х = s + t, у = s-t, получим:

4. Разность косинусов

Рассмотрим выражение Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Пример 1. Решить уравнения:
Решение: а) Преобразовав сумму синусов в произведение по формуле (1), получим:

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:

б) Имеем последовательно:

Из первого уравнения находим:
Из второго уравнения находим:
в) Здесь придется воспользоваться формулой приведения:

чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность косинусов, для которой у нас имеется формула (4). Тогда получим последовательно:

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Сгруппируем первое и третье слагаемые левой части уравнения:

Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Это — достаточно сложный пример, требующий умения свободно оперировать формулами тригонометрии. Поэтому мы сделаем его не спеша, обстоятельно и «по действиям».
1) Дважды применим к левой части уравнения формулы понижения степени:

2)    Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:
откуда получаем:
3)    Преобразуем разность косинусов в произведение:

Значит, задача сводится к решению уравнения 2sin4х sin2х =0.
4)    Полученное уравнение сводится к совокупности двух уравнений: sin4х=0; sin2х=0.

Замечание. Полученный ответ можно записать компактнее. Поступим так: отметим все значения х, содержащиеся в серии точками на
числовой окружности — восемь точек на рис. 96а (они получаются, если параметру п придать последовательно значения 0,1, 2, 3,...). Отметим все
пп значения х, содержащиеся в серии точками на числовой окружности — четыре точки на рис. 966. Но они уже отмечены на рис. 96а. Что это значит? Это значит, что вторая серия не содержит новой информации о решениях заданного тригонометрического уравнения, т.е. все его решения пп исчерпываются первой сериеи:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.