Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Синус и косинус. Тангенс и котангенс.

1. Синус и косинус.

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соs t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Итак (см.рис. 109),

Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.

Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:

у точек первой четверти    х > 0, у > 0;
у точек второй четверти    х < 0, у > 0;
у точек третьей четверти    х < 0, у < 0;
у точек четвертой четверти    х > 0, у < 0 (рис. 104).

Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х² + у² = 1.

Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее sin t и соs t:

В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соs t и sin t.

Пример 1.

Вычислить соs t и sin t, если:

Решение:

а) В примере 1а из § 18 мы установили, что числу   соответствует та же точка числовой окружности, что и

б)    В примере 16 из § 18 мы установили, что числу

Пример 2.

Решить уравнение

Решение.

Учтем, что sin t — ордината точки М{₁) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:

Пример 3.

Решить уравнение
Решение.

Учтем, что sin t — ордината точки М{₁) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1
точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:

Пример 4.

Решить уравнение:

Решение.

а)Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), n (точка С), 2n (точка А), Зn (точка С), -n (точка С), -2k (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида nk.

б)  Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109). Значит, решения уравнения

Замечание.

Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр k (или n) принимает любые целочисленные значения (k е n ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем. Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.

Свойство 1.

Для любого значения I справедливы равенства:

Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-t) = = соs t. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что sin  (-t) = cos t.

Свойство 2.

Для любого значения 1: справедливы равенства

Это очевидно, поскольку числам t и t + 2nк соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).

Свойство 3.

Для любого значения t справедливы равенства:

Доказательство. Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t + n соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что

2. Тангенс и котангенс.

Определение.

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают

Впредь, говоря о t или t, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент t принимает только допустимые значения:

Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:

Пример 6.

Вычислить:

Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.