KNOWLEDGE HYPERMARKET

Теорема Виета
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Теорема Виета</metakeywords>  
+
<p><span class="fck_mw_special" _fck_mw_customtag="true" _fck_mw_tagname="metakeywords">Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Теорема Виета</span>
 +
</p><p><b><a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">Гипермаркет знаний</a>&gt;&gt;<a href="Математика">Математика</a>&gt;&gt;<a href="Математика 8 класс">Математика 8 класс</a>&gt;&gt;Математика:Теорема Виета</b>
 +
</p><p><br />
 +
</p><p><b>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; ТЕОРЕМА ВИЕТА </b><br />
 +
</p><p><br />В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
 +
</p><p><br />
 +
</p><p><img src="/images/c/c5/14-06-47.jpg" _fck_mw_filename="14-06-47.jpg" alt="" /><br /><br />Например, для уравнения Зx<sup>2</sup> - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна <img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" />, а произведение корней равно <img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" /><br /> т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. <br />Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам
 +
</p><p><img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" /><br /><br />где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, <br />получим
 +
</p><p><img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" /><br /><br />Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем
 +
</p><p><img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" /><br /><br />Второе соотношение доказано: <img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" /><br /><i><b>Замечание.</b></i> Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. <br />Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем:
 +
</p><p>x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q<br /><i><b>т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.</b></i><br />С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда
 +
</p><p><img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" /><br /><br />Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
 +
</p><p><br />
 +
</p><p><img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" /><br /><br />Доказательство. Имеем
 +
</p><p><img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" /><br /><b><br />Пример 1</b>. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br />Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = <img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" />. <br />Воспользовавшись теоремой 2, получим <br />
 +
</p><p><img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" /><br /><br />Есть смысл вместо <img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /> написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br />Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br />
 +
</p><p>Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br />= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br />
 +
</p><p>Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br /><b>Пример 1</b>. Сократить дробь <br />
 +
</p><p><img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" /><br /><br />Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br />
 +
</p><p><img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" /><br /><br />Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br />х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br />А теперь сократим заданную дробь:<br />
 +
</p><p><img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" /><br /><br /><b>Пример 3</b>. Разложить на множители выражения: <br />а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; б)2x+<img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />-3<br />Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br />Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br />
 +
</p><p>у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br />Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br />x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br />б) Введем новую переменную у = <img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br />2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br />y<sub>1</sub> = 1,&nbsp;&nbsp;&nbsp; y<sub>2</sub>= <img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" />. Далее, используя теорему 2, получим: <br />
 +
</p><p><img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" /><br /><br />Осталось вспомнить, что у =  , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br />
 +
</p><p><img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" /><br /><br />В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br />если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br />С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
 +
</p><p>1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3.
 +
</p><p>2) х<sup>2</sup> + 11х + 30 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -11,&nbsp; х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 30. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = -5, х<sub>2</sub> = -6. <br />Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
 +
</p><p>3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br />Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
 +
</p><p>4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" />, а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /> .
 +
</p><p>5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
 +
</p><p>6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0. <br />Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0. <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 +
</p><p><br />
 +
</p><p><br />
 +
</p><p><sub>Математика за 8 класс бесплатно <a href="Математика">скачать</a>, планы конспектов уроков, готовимся к школе <a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">онлайн</a></sub>
 +
</p><p><br />
 +
</p>
 +
<pre class="_fck_mw_lspace"><b><u>Содержание урока</u></b>
 +
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> конспект урока                      </b>
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> опорный каркас 
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> презентация урока
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> акселеративные методы
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> интерактивные технологии
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Теорема Виета'''
+
<b><u>Практика</u></b>
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> задачи и упражнения
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> самопроверка
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> домашние задания
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> дискуссионные вопросы
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> риторические вопросы от учеников
 +
 +
<b><u>Иллюстрации</u></b>
 +
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> аудио-, видеоклипы и мультимедиа </b>
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фотографии, картинки
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> графики, таблицы, схемы
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 +
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
-
<br>  
+
<b><u>Дополнения</u></b>
-
 
+
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> рефераты</b>
-
'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; ТЕОРЕМА ВИЕТА '''<br>  
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> статьи
-
 
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фишки для любознательных
-
<br>В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> шпаргалки
-
 
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> учебники основные и дополнительные
-
<br>  
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> словарь терминов                         
-
 
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> прочие
-
[[Image:14-06-47.jpg]]<br><br>Например, для уравнения Зx<sup>2</sup> - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна [[Image:14-06-48.jpg]], а произведение корней равно [[Image:14-06-49.jpg]]<br> т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. <br>Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам
+
<b><u></u></b>
-
 
+
<u>Совершенствование учебников и уроков
-
[[Image:14-06-50.jpg]]<br><br>где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, <br>получим
+
</u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> исправление ошибок в учебнике</b>
-
 
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обновление фрагмента в учебнике
-
[[Image:14-06-51.jpg]]<br><br>Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> элементы новаторства на уроке
-
 
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> замена устаревших знаний новыми
-
[[Image:14-06-52.jpg]]<br><br>Второе соотношение доказано: [[Image:14-06-53.jpg]]<br>'''''Замечание.''''' Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. <br>Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем:
+
-
 
+
-
x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q<br>'''''т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.'''''<br>С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-54.jpg]]<br><br>Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
+
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-55.jpg]]<br><br>Доказательство. Имеем
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-56.jpg]]<br>'''<br>Пример 1'''. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br>Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = [[Image:14-06-57.jpg]]. <br>Воспользовавшись теоремой 2, получим <br>
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-58.jpg]]<br><br>Есть смысл вместо [[Image:14-06-59.jpg]] написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br>Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br>
+
-
 
+
-
Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br>= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br>
+
-
 
+
-
Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br>'''Пример 1'''. Сократить дробь <br>
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-60.jpg]]<br><br>Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br>  
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-61.jpg]]<br><br>Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br>х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br>А теперь сократим заданную дробь:<br>
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-62.jpg]]<br><br>'''Пример 3'''. Разложить на множители выражения: <br>а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; б)2x+[[Image:14-06-63.jpg]]-3<br>Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br>Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br>  
+
-
 
+
-
у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br>Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br>б) Введем новую переменную у = [[Image:14-06-63.jpg]]. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br>2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br>y<sub>1</sub> = 1,&nbsp;&nbsp;&nbsp; y<sub>2</sub>= [[Image:14-06-64.jpg]]. Далее, используя теорему 2, получим: <br>
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-65.jpg]]<br><br>Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>
+
-
 
+
-
[[Image:14-06-66.jpg]]<br><br>В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br>если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br>С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
+
-
 
+
-
1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3.
+
-
 
+
-
2) х<sup>2</sup> + 11х + 30 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -11,&nbsp; х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 30. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = -5, х<sub>2</sub> = -6. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
+
-
 
+
-
3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
+
-
 
+
-
4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-67.jpg]], а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-67.jpg]] .
+
-
 
+
-
5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).  
+
-
 
+
-
6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0. <br>Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0. <br><br><br><br><br><br><br>
+
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
<sub>Математика за 8 класс бесплатно [[Математика|скачать]], планы конспектов уроков, готовимся к школе [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]</sub>  
+
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
'''<u>Содержание урока</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии
+
   
   
-
'''<u>Практика</u>'''
+
<b><u>Только для учителей</u></b>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
+
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> идеальные уроки </b>
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> календарный план на год  
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> методические рекомендации  
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> программы
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обсуждения
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
-
 
+
-
'''<u>Иллюстрации</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
-
+
-
'''<u>Дополнения</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
+
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                         
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
+
-
'''<u></u>'''
+
-
  <u>Совершенствование учебников и уроков
+
-
</u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
+
-
 
+
-
'''<u>Только для учителей</u>'''
+
-
<u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации 
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
-
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
-
+
-
+
-
'''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
+
-
</u>
+
-
 
+
-
<br>  
+
-
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].
 
-
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
+
<b><u>Интегрированные уроки</u></b><u>
 +
</u>
 +
</pre>
 +
<p><br />
 +
</p><p>Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, <a href="http://xvatit.com/index.php?do=feedback">напишите нам</a>.
 +
</p><p>Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - <a href="http://xvatit.com/forum/">Образовательный форум</a>.
 +
</p>

Версия 08:58, 8 октября 2012

Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Теорема Виета

<a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">Гипермаркет знаний</a>>><a href="Математика">Математика</a>>><a href="Математика 8 класс">Математика 8 класс</a>>>Математика:Теорема Виета


                                               ТЕОРЕМА ВИЕТА


В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).


<img src="/images/c/c5/14-06-47.jpg" _fck_mw_filename="14-06-47.jpg" alt="" />

Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна <img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" />, а произведение корней равно <img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" />
т. е. - 2. А для уравнения х2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формулам

<img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" />

где D = b2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим

<img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" />

Теперь вычислим произведение корней х1 и х2 Имеем

<img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" />

Второе соотношение доказано: <img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" />
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x1 = x2 = -p, x1x2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х1 и х2 — корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда

<img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" />

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.


<img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" />

Доказательство. Имеем

<img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" />

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх2 - 10x + 3: х1 = 3, х2 = <img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" />.
Воспользовавшись теоремой 2, получим

<img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" />

Есть смысл вместо <img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /> написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх2 - 10x + 3 = Зх2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1. Сократить дробь

<img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" />

Решение. Из уравнения 2х2 + 5х + 2 = 0 находим х1 = - 2,

<img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" />

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х1 = 6, х2 = -2. Поэтому
х2- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

<img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" />

Пример 3. Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x2+6;               б)2x+<img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х2. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у2 + bу + 6.
Решив уравнение у2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у2 + 5у + 6: у1 = - 2, у2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x4 + 5х2+ 6 = (х2 + 2)(х2 + 3).
б) Введем новую переменную у = <img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у2 + у - 3. Решив уравнение
2у2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у2 + у - 3:
y1 = 1,    y2= <img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" />. Далее, используя теорему 2, получим:

<img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" />

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

<img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" />

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, x1x2 = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х2 - 11х + 24 = 0. Здесь x1 + х2 = 11, х1х2 = 24. Нетрудно догадаться, что х1 = 8, х2 = 3.

2) х2 + 11х + 30 = 0. Здесь x1 + х2 = -11,  х1х2 = 30. Нетрудно догадаться, что х1 = -5, х2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х2 + х - 12 = 0. Здесь x1 + х2 = -1, х1х2 = -12. Легко догадаться, что х1 = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х1 = 1 — корень уравнения. Так как х1х2 = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" />, а х1 = 1, то получаем, что х2 = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /> .

5) х2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х1+ х2 = 293, х1х2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х1 = 283, х2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х1 = 8, х2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0.
Имеем х1+ х2= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х1х2= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х2-4х-32 = 0.








Математика за 8 класс бесплатно <a href="Математика">скачать</a>, планы конспектов уроков, готовимся к школе <a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">онлайн</a> 


<b><u>Содержание урока</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> конспект урока                       </b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> опорный каркас  
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> презентация урока
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> акселеративные методы 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> интерактивные технологии 

<b><u>Практика</u></b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> задачи и упражнения 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> самопроверка
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> практикумы, тренинги, кейсы, квесты
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> домашние задания
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> дискуссионные вопросы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> риторические вопросы от учеников
 
<b><u>Иллюстрации</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> аудио-, видеоклипы и мультимедиа </b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фотографии, картинки 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> графики, таблицы, схемы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> юмор, анекдоты, приколы, комиксы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

<b><u>Дополнения</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> рефераты</b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> статьи 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фишки для любознательных 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> шпаргалки 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> учебники основные и дополнительные
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> словарь терминов                          
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> прочие 
<b><u></u></b>
<u>Совершенствование учебников и уроков
</u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> исправление ошибок в учебнике</b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обновление фрагмента в учебнике 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> элементы новаторства на уроке 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> замена устаревших знаний новыми 
 
<b><u>Только для учителей</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> идеальные уроки </b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> календарный план на год  
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> методические рекомендации  
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> программы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обсуждения


<b><u>Интегрированные уроки</u></b><u>
</u>


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, <a href="http://xvatit.com/index.php?do=feedback">напишите нам</a>.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - <a href="http://xvatit.com/forum/">Образовательный форум</a>.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82%D0%B0»

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: