Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Тригонометрические функции углового аргумента

Тригонометрические функции углового аргумента

Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были вам знакомы, правда, использовали вы их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс угла (а не числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла — это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали мы в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны, в чем мы сейчас убедимся.

Возьмем угол с градусной мерой <х° и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 112: вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с окружностью обозначим буквой М. Ординату точки М естественно считать синусом угла а°, а абсциссу этой точки — косинусом угла а°.

Для отыскания синуса или косинуса угла а° совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения. Достаточно заметить, что дуга АМ составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол а составляет от угла 360°. Если длину дуги АМ обозначить буквой то получим:

Считают, что 30° — это градусная мера угла, а

Ради краткости условились обозначение «рад» опускать, т.е. вполне допустимой является следующая запись:

Так что же такое 1 радиан? Вы знаете, что есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую  часть окружности. Угол в 1 радиан — 360 это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу 180° окружности. Из формулы  получаем, 1 рад : что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

Завершая этот параграф, убедимся в том, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые вы изучали в геометрии, представляют собой частные случаи тех определений, что были предложены в этой главе.

Доказательство. Совместим прямоугольный треугольник АВС с числовой окружностью так, как показано на рис. 114: вершину А поместим в центр окружности, катет АС «пустим» по положительному направлению оси абсцисс. Точку пересечения гипотенузы АВ с окружностью обозначим буквой М. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую АС. Заметим, что АР и МР — абсцисса и ордината точки М, т.е. АР = соs А, МР = sin А. Учтем также, что АМ = 1 (радиус числовой окружности равен 1) и что АВ = с, АС = b, ВС = а.

Так как треугольники АМР и АВС подобны, то

Теорема полностью доказана.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.