Формулы корней квадратных уравнений

Материал из Гипермаркет знаний

Перейти к: навигация, поиск

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений


Формулы корней квадратных уравнений


Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0.

Применим к квадратному трехчлену ах2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола.

Имеем

Формулы корней квадратных уравнений

Обычно выражение b2 - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

Формулы корней квадратных уравнений

Значит, квадратное уравнение ах2 + их + с = О можно переписать в виде

Формулы корней квадратных уравнений

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Теорема

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение 2x2 + 4х + 7 = 0.

Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7, D = b2-4ac = 42. 4. 2. 7 = 16-56 = -40.

Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Теорема

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает видДоказательство   — единственный корень уравнения.

Замечание 1. Помните ли вы, что х = - 13-06-20.jpg — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах2 + их + с? Почему именно это значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах2 + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

Доказательство

Графиком же функции функции является парабола с вершиной в точке точка (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

График


Пример 2. Решить уравнение 4x2 - 20x + 25 = 0.

Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b2 - 4ас = (-20)2 - 4 • 4 • 25 = 400 - 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формулеФормула Ответ: 2,5.

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х2 - 20х +25 — полный квадрат: 4х2 - 20х + 25 = (2х - 5)2.

Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х - 5)2 = 0, значит, 2х - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, тоах2 + bх + с = Формула — это мы отметили ранее в замечании 1.
Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bх +  с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам


Теорема

Доказательство. Перепишем квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 в виде (1)

Уравнение

Положим Доказательство
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Доказательство

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Доказательство

Замечание 3.
В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3. Решить уравнение Зх2 + 8х - 11 = 0.

Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = - 11, D = b2 - 4ас = 82 - 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Решение

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

Правило решения уравнения
ах2 + bх + с = 0

Правило решения уравнения

Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.

Пример 4. Решить уравнения:

а) х2 + Зх - 5 = 0;            б) - 9x2 + 6х - 1 = 0;            в) 2х2-х + 3,5 = 0.

Решение.

а) Здесь а = 1, b = 3, с = - 5,  D = b2 - 4ас = З2 - 4 • 1 • (- 5) = 9 + 20 = 29.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3)

Формулы

б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим  9x2 - 6x + 1 = 0.

Здесь а = 9, b = -6, с = 1, D = b2 - 4ас = 36 - 36 = 0.
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = - 13-06-35.jpg. Значит,


Решение.


Это уравнение можно было решить по-другому: так как 9х2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, то получаем уравнение (Зх - I)2 = 0, откуда находим Зх - 1 = 0, т. е. х =13-06-37.jpg .

в) Здесь а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = b2 - 4ас = 1 - 4 • 2 • 3,5= 1 - 28 = - 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математики — люди практичные, экономные. Зачем, говорят они, пользоваться таким длинным правилом решения квадратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:

Формула

Если окажется, что дискриминант D = b2 - 4ас — отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем

Решение.

т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня:

Решение.

Наконец, если окажется, что b2 - 4ас > 0, то получаются два корня х1и х2, которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше.

Само число Число в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х1 ) это положительное число прибавляется к числу - b, а в другом случае (при отыскании х2) это положительное число вы-
читается из числа - b.

У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше правило; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы.

Пример 5. Решить уравнения:
Решение.

Решение,

а) Конечно, можно использовать формулы (4) или (3), учитывая, что в данном случае Решение. Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим

Решение.
откуда 8х2 + 10x - 7 = 0.

А теперь воспользуемся формулой (4)

Решение.

б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, b = - 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами:

300x2 - 20x + 277 = 0.

Далее воспользуемся формулой (4):

Формула

Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 6. Решить уравнение Задание
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле (4).

Имеем а = 5, b = -13-06-48.jpg, с = 1, D = b2 - 4ас = (- 13-06-48.jpg) 2 - 4 • 5 • 1 = 60 - 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3)

Задание


Пример 7. Решить уравнение
х2 - (2р + 1)x +(р2+р-2) = 0

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.

Найдем дискриминант:

Задание

Пример 8. Решить уравнение рx2 + (1 - р) х - 1 = 0.
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда
уравнение примет вид 0 • x2+ (1-0)x- 1 = 0, т. е. х - 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что 13-06-51.jpg, то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

Задание

Задание


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Учебники и книги по всему предметам, домашняя работа, онлайн библиотеки книжек, планы конспектов уроков по математике, рефераты и конспекты уроков по математике для 8 класса скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Просмотры










Конец Света - Начало Света
Личные инструменты
...