Функции вида y = √x, их свойства и графики

Материал из Гипермаркет знаний

Перейти к: навигация, поиск

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Функции вида y = √x, их свойства и графики


§40. Функции вида y = √x, их свойства и графики


В предыдущем параграфе мы ввели понятие корня n-й степени из действительного числа, отметили, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т.д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени. Но тогда следует подумать и о функции вида A10544.jpg, о ее графике, о ее свойствах. Этим мы и займемся в нас стоящем параграфе. Сначала поговорим о функции A10544.jpg в случае неотрицательных значений аргумента.

Начнем с известного вам случая, когда n =2, т.е. с функции На рис. 166 изображен график функции A10545.jpg и график функции у = х2, х>0. Оба графика представляют собой одну и ту же кривую — ветвь параболы, только по-разному расположенную на координатной плоскости. Уточним: эти графики симметричны относительно прямой у = х, поскольку состоят из точек, симметричных друг другу относительно указанной прямой. Смотрите: на рассматриваемой ветви параболы у = х2 есть точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), A10545.jpg  а на графике функции точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Точки (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) симметричны относительно прямой у = х, (а точки (0; 0) и (1; 1) лежат на этой прямой). И вообще, для любой точки (а; а2) на графике функции у = х2 есть симметричная ей относительно прямой у = x точка (а2; а) на графике функции A10545.jpg и обратно. Справедлива следующая теорема.


Теорема


Доказательство. Будем считать для определенности, что а и b — положительные числа. Рассмотрим треугольники ОАМ и ОВР (рис. 167). Они равны, значит, ОР = ОМ и A10547.jpg. Но тогда и A10548.jpg поскольку прямая у = х — биссектриса угла АОВ. Итак, треугольник РОМ — равнобедренный, ОН — его биссектриса, а  значит, и ось симметрии. Точки М и Р симметричны относительно прямой ОН, что и требовалось доказать. 
Итак, график функции A10545.jpg можно получить из графика функции у = х2, х>0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. Аналогично график функции A10549.jpg можно получить из графика функции у = х3, х> 0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у=х; график функции A10550.jpg можно получить из графика функции A10551.jpg с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х и т.д. Напомним, что график функции A10552.jpg напоминает по виду ветвь параболы A10553.jpg Чем больше п, тем круче эта ветвь устремляется вверх на промежутке A10554.jpg и тем ближе подходит к оси х в окрестности точки х=0 (рис. 168).


Графики
Сформулируем общий вывод: график функции A10556.jpg симметричен графику    функции    A10557.jpg, относительно прямой у = х(рис. 169).

Свойства функции A10558.jpg

1) A10559.jpg
2)    функция не является ни четной, ни нечетной;
3)    возрастает на A10560.jpg
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    не имеет наибольшего значения; A10561.jpg
6)    непрерывна;
7) A10562.jpg


Обратите внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 169: A10563.jpg Только что мы перечислили семь свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Но, уточним, пока одинаковы.

Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково, и ввели понятия выпуклости вверх и выпуклости вниз. График функции A10544.jpg обращен выпуклостью вверх, тогда как график функции у = хп обращен выпуклостью вниз.

Графики
Обычно говорят, что непрерывная функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 170); непрерывная функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 171).

Свойство выпуклости мы будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика. Отметим его'(продолжив нумерацию описанных ранее свойств) для рассматриваемой функции:

8)    функция A10544.jpg выпукла вверх на луче A10565.jpg
В предыдущей главе мы познакомились еще с одним свойством функции — дифференцируемостью, видели, что функция у = хп дифференцируема в любой точке, ее производная равна пхn-1. Геометрически это означает, что в любой точке графика функции у = хп к нему можно провести касательную. Этим же свойством обладает и график функции A10544.jpg: в любой его точке к графику можно провести касательную. Таким образом, мы можем отметить еще одно свойство функции A10544.jpg
9)    функция A10544.jpg дифференцируема в любой точке х > 0.
Обратите внимание: о дифференцируемости функции в точке х = 0 речь не идет — в этой точке касательная к графику функции совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс.
Пример 1. Построить график функции A10566.jpg
Решение.1)Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; -4) — пунктирные прямые х = -1 и у = -4 на рис. 172.
2) «Привяжем» функцию A10567.jpg   к новой системе координат. Это и будет требуемый график.
Пример 2. Решить уравнение A10568.jpg

Решение. Первый способ. 1) Введем в рассмотрение две функции A10569.jpg
2)    Построим график функции

График
3)    Построим график линейной функции у=2-х (см. рис. 173).

4)    Построенные графики пересекаются в одной точке А, причем по графику можно сделать предположение, что координаты точкиА таковы: (1; 1). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 1) принадлежит и графику функции A10571.jpg, и графику функции у=2-x. Значит, наше уравнение имеет один корень: х = 1 — абсцисса точки А.


Второй способ.
Геометрическая модель, представленная на рис. 173, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет очень изящно решить уравнение (и которым мы уже воспользовались в § 35 при решении примера 2):

Если функция у=f(х) возрастает, а функция у=g(х) убывает и если уравнение f(х)=g(х) имеет корень, то он только один.

Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить заданное уравнение:

1)    заметим, что при х = 1 выполняется равенство A10572.jpg, значит, х = 1 — корень уравнения (этот корень мы угадали);
2)    функция y=2-x убывает, а функция A10573.jpg возрастает; значит, корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение x = 1.

Ответ: x = 1.


До сих пор мы говорили о функции A10573.jpg только для неотрицательных значений аргумента. Но ведь если п — нечетное число, выражение A10574.jpg имеет смысл и для x <0. Значит, есть смысл поговорить о функции A10573.jpg в случае нечетного п для любых значений х.

Собственно говоря, к перечисленным добавится только одно свойство:

если n — нечетное число (n = 3,5, 7,...), то A10573.jpg — нечетная функция.

В самом деле, пусть Задание для нечетного показателя n такие преобразования верны. Итак, f(-x) = -f(x), а это и означает нечетность функции. 

Как же выглядит график функции A10573.jpg в случае нечетного показателя n? При A10576.jpg так, как показано на рис. 169, — это ветвь искомого графика. Добавив к ней ветвь, симметричную ей относительно начала координат (что, напомним, характерно для любой нечетной функции), получим график функции A10573.jpg (рис. 174). Обратите внимание: ось у является касательной к графику в точке х = 0.
Итак, повторим еще раз:
если п — четное число, то график функции A10573.jpg имеет вид, представленный на рис. 169;
если п — нечетное число, то график функции A10573.jpg имеет вид, представленный на рис. 174.

Графики
Пример 3. Построить и прочитать график функции у = f(x), где Задание
Решение. Сначала построим график функции A10579.jpg и выделим его часть на луче A10580.jpg (рис. 175).
Затем построим график функции A10581.jpg и выделим его часть на открытом луче A10582.jpg (рис. 176). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и будет график функции у = f(x)(рис. 177).
Перечислим (опираясь на построенный график) свойства функции у = f(x):

1) A10583.jpg
2)    ни четна, ни нечетна;
3)    убывает на луче A10584.jpg, возрастает на луче A10585.jpg   
4)    не ограничена снизу, ограничена сверху;
5)    нет наименьшего значения, а A10586.jpg (достигается в точке х = 1);
6)    непрерывна;
7) A10587.jpg
8)    выпукла вниз при A10588.jpg, выпукла вверх на отрезке [0, 1], выпукла вниз при A10589.jpg
9)    функция дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и х = 1.
10)    график функции имеет горизонтальную асимптоту A10590.jpg это означает, напомним, что A10591.jpg

Пример 4. Найти область определения функции:

Задание

Решение, а) Под знаком корня четной степени должно находиться неотрицательное число, значит, задача сводится к решению неравенства A10593.jpg
б)    Под знаком корня нечетной степени может находиться любое число, значит, здесь на х не накладывается никаких ограничений, т.е. D(f) = R.
в)    Выражение A10594.jpg имеет смысл при условии A10595.jpg а выражение A10596.jpg  Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: A10597.jpg т.е. задача сводится к решению системы неравенств:

Задание

Решая неравенство Задание
Решим неравенство A10600.jpg Разложим левую часть неравенства на множители: A10601.jpg Левая часть неравенства обращается в 0 в точках -4 и 4. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 178). Числовая прямая разбивается указанными точками на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(4-х)(4 + х) сохраняет постоянный знак (знаки указаны на рис. 178). Промежуток, на котором выполняется неравенство р(х)>0, заштрихован на рис. 178. По условию задачи нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство р(х) = 0. Таких точек две: х =-4, х =4 — они отмечены на рис. 178 темными кружочками. Таким образом, на рис. 178 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.

Задание
Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для первого — верхнюю, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 179). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок [-1, 4].

Ответ. D(f) = [-1,4].


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс




Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Просмотры










Конец Света - Начало Света
Личные инструменты
...