Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики

Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики

В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства функций у = sin х,у = соs х и построим их графики.

1. Функция у = sin X.

Выше, в § 20, мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число cos t, т.е. охарактеризовали функцию y = sin t. Отметим некоторые ее свойства.

Свойства функции u = sin t.

Свойство 1.

Область определения — множество К действительных чисел.
Это следует из того, что любому числу 2 соответствует на числовой окружности точка М(1), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть cos t.

Свойство 2.

u = sin t — нечетная функция.

Это следует из того, что, как было доказано в § 19, для любого t выполняется равенство
Значит, график функции и = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOи.

Свойство 3.

Функция u = sin t возрастает на отрезке
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 — см. рис. 115), а при движении точки по второй четверти числовой окружности ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 — см. рис. 116).

Свойство 4.

Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху. Это следует из того, что, как мы видели в § 19, для любого t справедливо неравенство

Свойство 5.

(этого значения функция достигает в любои точке вида (этого значения функция достигает в любой точке вида
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо u — sin t будем писать у = sin x (ведь нам привычнее запись у = f(х), а не u = f(t)). Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу (а не tOy).

Составим таблицу значений функции у — sin х:

Замечание.

Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука).

Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию.

 Линию, служащую графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 118 или 119, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 117, называют полуволной или аркой синусоиды.

2. Функция у = соs х.

Изучение функции у = соs х можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы, важные сами по себе (в этом вы убедитесь в старших классах), но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.

Для любого значения t справедливы равенства

Доказательство. Пусть числу t соответствует точка М числовой n окружности, а числу * + — —точка Р (рис. 124; ради простоты мы взяли точку М в первой четверти). Дуги АМ и ВР равны, соответственно равны и прямоугольные треугольники ОКМ и ОЬР. Значит, О К = ОЬ, МК = РЬ. Из этих равенств и из расположения треугольников ОКМ и ОЬР в системе координат делаем два вывода:

1) ордината точки Р и по модулю и по знаку совпадает с абсциссой точки М; это значит, что

2) абсцисса точки Р по модулю равна ординате точки М, но отличается от нее знаком; это значит, что

Примерно так же проводятся соответствующие рассуждения в тех случаях, когда точка М принадлежит не первой четверти.
Воспользуемся формулой (это — формула, доказанная выше, только вместо переменной t мы используем переменную х). Что дает нам эта формула? Она позволяет утверждать, что функции

тождественны, значит, их графики совпадают.
Построим график функции Для этого перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (пунктирная прямая проведена на рис. 125). Привяжем функцию у = sin х к новой системе координат — это и будет график функции (рис. 125), т.е. график функции у - соs х. Его, как и график функции у = sin х, называют синусоидой (что вполне естественно).

Свойства функции у = соs х.

Свойство 1.

Свойство 2.

у = соs х — четная функция.

Этапы построения отражены на рис. 126:

1)    строим график функции у = соs х (точнее, одну полуволну);
2)    растянув построенный график от оси х с коэффициентом 0,5, получим одну полуволну требуемого графика;
3)    с помощью полученной полуволны строим весь график функции у = 0,5 соs х.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.