Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Рассмотрим многочлен ах² + bх + с, где а, b, с — числа (коэффициенты), причем а . Его обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен ах² называют старшим членом квадратного трехчлена, а коэффициент а — старшим коэффициентом.

Функцию у = ах² + bх + с, где а, b, с — произвольные числа, причем а , называют квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена  ах² +bх + с содержит х в квадрате.

Опираясь на результаты, полученные выше, мы с вами сможем построить график любой квадратичной функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.

Пример 1. Построить график функции у = - bх² - 6х + 1.

Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене -bх² - 6х + 1. Имеем
-Зх² - вх + 1 = -3(х² + 2х) + 1 = -3((х² + 2х + 1) - 1) + 1 =  - 3 ((x + I)² - 1) + 1 = - 3 (х + I)² + 3 + 1 = - 3 (х + I)² + 4.

Для построения графика функции у = -3(х + I)² + 4 перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые х = -1 и у = 4 на рис. 61).

Привяжем функцию у = - Зх² к новой системе координат.

С этой целью выберем контрольные точки для функции у = - Зх², например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим параболу — получим требуемый график (рис. 62).

Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к виду а(х + I)² + m и использовали алгоритм 2 из §12 (заметим, что с равным успехом мы могли бы использовать и алгоритм 1 — кому что  нравится). Оказалось что графиком функции  у = -Зх²- 6x = 1 является парабола которая получается из параболы у = -Зх² параллельным переносом А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком функции у = х² - 4x+ 5 так же является парабола; она получается из параболы у = х² параллельным переносом. Оказывается график любой квадратичной функции у = ах2+ bх + с можно получить из параболы у = ах² параллельным переносом, причем для доказательства этого факта используется та же идея — выделение полного квадрата.

Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем

Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен ах² + bх + с к виду а(х + I)² + m, где

Чтобы построить график функции у = а(х + I)² + m, нужно выполнить параллельный перенос параболы у = ах2 так, чтобы вершина параболы оказалась в точке (-l; m) (рис. 63). Теорема доказана.

Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы у = ах² + bх + с служит точка (-l; m). Осью параболы является прямая х = -l, т. е.
Итак, осью параболы у = ах² + bх + с служит прямая ; абсцисса х₀ вершины параболы у = ах² + bх + с вычисляется по формуле

Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле у₀ = m, т.е.

Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса х₀, то ординату у₀ всегда можно вычислить по формуле
y₀= f(х₀ ), где f(х) =ax² + bx = c,

Пример 2. Не выполняя построения графика функции y = - 3x² - 6 = 1 ответить на следующие вопросы:

а) Какая прямая служит осью параболы?

б) Каковы координаты вершины параболы?

в) Куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы?

Решение, а) Здесь а = - 3, b = - 6. Уравнение оси параболы
б) Абсцисса х₀ вершины параболы нам уже известна: х₀ = - 1. Ординату у₀ найдем по формуле у₀ = f(x₀), где f(x) = -bх² - 6х + 1.
Имеем
У_о = f(x_о) = f(- 1) = - 3(- I)² - 6(- 1) + 1 = 4.
Итак, вершиной параболы служит точка (- 1; 4).

в) Парабола у = - 3х² - 6х + 1 получается параллельным переносом параболы у = -Зх². Ветви параболы у = -Зх² направлены вниз (поскольку коэффициент при х² отрицателен), значит, и у параболы у = - Зх² - 6х + 1 ветви направлены вниз.

Замечание. Сравните примеры 1 и 2. Речь в них идет об одной и той же параболе, но в примере 1 мы ее построили, а в примере 2 строить параболу было не нужно. Проверьте по рис. 62 правильность ответов на вопросы примера 2. Для любой функции вида у = ах² + bх + с можно ответить на поставленные в примере 2 вопросы, не строя параболу — график функции. Легче всего ответить на вопрос, куда направлены ветви параболы:

ветви параболы у = ах² + bх + с направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0.

Несколько сложнее найти уравнение оси параболы: (сложнее, поскольку приходится немного посчитать). И еще сложнее (требуется больше вычислений) находятся координаты вершины параболы: абсциссой является число а ордината у₀ вычисляется по формуле у₀ = f(x₀), где f(x) = ах² + bх + с, 4ас-b²
или по формуле
ПримерЗ. Построить график функции у = 2х² - 6х + 1.

Решение. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку старший коэффициент 2 — положительное число. Найдем координаты вершины параболы.

Имеем а = 2, b = -6;

y₀ =f(x₀) = f (1,5), где f(x) = 2х² -6х + 1. Значит, у₀ = f(1,5) = 2 • 1,5² - 6 • 1,5 + 1 =  -3,5.

На рис. 64 отмечена точка (1,5; - 3,5) — вершина искомой параболы, проведена ось параболы. Чтобы построить саму параболу, поступим  так: возьмем на оси х две точки, симметричные  относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 3; вычислим значения функции в этих точках, учтя, что f (0) =f(3). Имеем f(0) = 1, значит, и f(3) = 1. Точки (0; 1) и (3; 1) отмечены на рис. 64. А теперь, зная три точки, построим искомую параболу (рис. 65)

Фактически мы получили алгоритм построения графика квадратичной функции. Оформим его.

Алгоритм построения параболы у = ах2 + bх + с

1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.

2. Отметить на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку х = 0), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.

3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам).

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = - 2х² + 8x - 5 на отрезке [0, 3].

Решение.

Первый этап. Построим параболу, служащую графиком заданной функции. Воспользуемся алгоритмом.
1) Имеем

Значит, вершиной параболы служит точка (2; 3), а осью параболы — прямая х = 2 (рис. 66).

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 4. Имеем f(0) =f(4) = = -5; построим на координатной плоскости точки (0; - 5) и (4; - 5) (рис. 66).


3) Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 67).

Второй этап. Выделим часть построенного графика на отрезке [0, 3]. Замечаем (см. выделенную часть параболы на рис. 67), что у_наим. = - 5 (достигается при х = 0), а y_наиб. = 3 (достигается при х = 2).

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 8 класса скачать, помощь школьнику онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.