Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Функция у = logaх, ее свойства и график
Функция у = logaх, ее свойства и график
В § 48 мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида , о ее графике и свойствах. Этим и займемся в настоящем параграфе.
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у=ах и логарифмическую у =logaх. Пусть точка (b; с) принадлежит графику функции у=ах; это значит, что справедливо равенство с=аb. Перепишем это равенство «на языке логарифмов»: b = logа с. Последнее равенство означает, что точка (с; Ь) принадлежит графику функции у=logaх.
Итак, если точка (b; с) принадлежит графику функции у=ах, то точка (с;b) принадлежит графику функции у =logaх. В § 40 мы доказали теорему о том, что точки координатной плоскости хОу с координатами (Ь; с) и (с; b) симметричны относительно прямой у = х (рис. 215). Таким образом, справедливо следующее утверждение: График функции у = logа х симметричен графику функции у =ах относительно прямой у -х.
На рис. 216 схематически изображены графики функций у=ах и у=logах случае, когда а >1; на рис. 217 схематически изображены графики функций у—ах и у=logаx в случае, когда 0 <а <1.
График функции у=logaх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная в координатной плоскости.
Если значение основания а указано, то график логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например, нужно построить график функции у=logaх. Составляя таблицу контрольных точек, будем руководствоваться соотношением (см. § 48). Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.
Имеем:
Построив на координатной плоскости точки
проводим через них логарифмическую кривую (рис. 218).
Свойства функции
Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 216.
1) ![Qw366.jpg](/images/2/29/Qw366.jpg) 2) не является ни четной, ни нечетной', 3) возрастает на ![Qw367.jpg](/images/1/1a/Qw367.jpg) 4) не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна;
7)![Qw369.jpg](/images/a/a1/Qw369.jpg) 8) выпукла вверх.
Сравните график функции у = logах, изображенный на рис. 216, и график функции у = aг(0 < r < 1), изображенный на рис. 187 (в § 44). Не правда ли, они похожи (при х > о)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = х' «набирает обороты» быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у = хг (при 0 < г < 1 и уж тем более при г 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при о >1 и г> 0 выполняется равенство
![Задание](/images/2/2b/Qw370.jpg) Свойства функции у = logaх, О < а < 1
Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 217.
1)![Qw371.jpg](/images/0/0f/Qw371.jpg) 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) убывает на ![Qw372.jpg](/images/a/a9/Qw372.jpg) 4) не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7)![Qw373.jpg](/images/3/31/Qw373.jpg) 8) выпукла вниз.
Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда о > 1, и в случае, когда О <а <1.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что логарифмическая функция, как и показательная, существенно отличается от всех функций, которые вы изучали в курсе алгебры 7—9-го классов. Поэтому есть смысл повторить сказанное в § 45: чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданном промежутке:
Решение, а) Функция у = lgх — непрерывная и возрастающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 1 (вы, конечно, помните, что Следовательно, своих наименьшего и наибольшего значений функция достигает на концах заданного отрезка [1,1000].
Имеем:
б) Функция — непрерывная и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции, т.е. число , меньше 1. Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного отрезка ![Qw379.jpg](/images/2/22/Qw379.jpg) Имеем:
Пример 2. Решить уравнение и неравенства:
Решение. График функции у=logaх схематически изображен на рис. 216. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
а) Уравнение loga х=0 имеет один корень x = 1, поскольку график функции у = logaх пересекает ось х в единственной точке (1; 0).
б) График функции у = logax расположен выше оси х при x > 1. Значит, решение неравенства logaх > 0 имеет вид х >1. .
в) График функции у = logaх расположен ниже оси х при 0 < х < 1. Значит, решение неравенства logax < 0 имеет вид 0 < х < 1.
Ответ: а)х = 1; б) х>1; в) 0<x<1.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства:
![Задание](/images/f/f1/Qw382.jpg) Решение. График функции схематически изображен на рис. 217. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя эту геометрическую модель. а) Уравнение имеет один корень , поскольку график функции пересекает ось х в единственной точке (1; 0). б) График функции расположен выше оси у при 0<х<1. Значит, решение неравенства >0 имеет вид 0<х<1. в) График функции расположен ниже оси х при х > 1. Значит, решение неравенства <0 имеет вид х > 1.
Ответ: а) x = 1; б) 0x<1; в) x>1.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|