Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Числовые последовательности

§ 29. Числовые последовательности

1. Определение числовой последовательности и способы ее задания.

Что такое числовая последовательность и как она задается, вам известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствующее определение.

Определение 1. Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают

Иногда для обозначения последовательности используется запись (у_n).

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее п-го члена.

Приведем три примера.

1)    у_п =п². Это — аналитическое задание последовательности
1,4, 9,16, ...,п², ...

Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, п =9, Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если у_п =625, то из уравнения п² =625 находим, что п =25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.

2)    у_п =С. Здесь речь идет о последовательности

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3)    у_п =2ⁿ. Это — аналитическое задание последовательности

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить п-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (а„), заданная рекуррентно соотношениями:

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями:

— знаменатель геометрической прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.

2. Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Определение 2. Последовательность (у„) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (у„) ограничена сверху, если существует числом такое, что для любого л выполняется неравенство у_n<М. Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность -1, -4, -9, -16, ...,-п2, ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взятьчисло -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Определение 3. Последовательность (у„) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (у_n) ограничена снизу, если существует число т такое, что для любого л выполняется неравенство у„>M. Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п2, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной. Например, Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.

Если построить график последовательности

 в прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе между некоторыми горизонтальными прямыми, например, у=0, и у = 1 (рис. 97), а в зтом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0, 1] (рис. 98).

Определение 4. Последовательность (у„) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... — возрастающая последовательность.

Определение 5. Последовательность (у„) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Например,   убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности. Приведем еще несколько примеров.
Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотбнная последовательность).
2)    у_n =2ⁿ. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... Это — возрастающая последовательность.
Вообще, если а > 1, то последовательность у_n =аⁿ возрастает.

Речь идет о последовательности
Это — убывающая последовательность.
Вообще, если 0 <а < 1, то последовательность у_n =аⁿ убывает.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.