Просмотр — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET
Синус и косинус. Тангенс и котангенс
У вас нет разрешения на действие «исправление этой страницы» по следующей причине:
Запрошенное действие могут выполнять только участники из группы giper.
Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс<metakeywords>Синус и косинус. Тангенс и котангенс</metakeywords>''' 

<br>

СИНУС И КОСИНУС. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС.<br>'''1.''' Синус и косинус.<br>Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соз t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают зт t.<br>Итак (см.рис. 109),

[[Image:alg31.jpg]]<br>Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.<br>Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:

у точек первой четверти&nbsp;&nbsp;&nbsp; х &gt; 0, у &gt; 0;<br>у точек второй четверти&nbsp;&nbsp;&nbsp; х &lt; 0, у &gt; 0;<br>у точек третьей четверти&nbsp;&nbsp;&nbsp; х &lt; 0, у &lt; 0;<br>у точек четвертой четверти&nbsp;&nbsp;&nbsp; х &gt; 0, у &lt; 0 (рис. 104).<br>Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

[[Image:alg32.jpg]]<br>Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = 1.<br>Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее ат t и соз t:<br>[[Image:alg33.jpg]]<br>В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соа t и ат t.

[[Image:alg34.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Вычислить соs t и sin t, если:

[[Image:alg35.jpg]]<br>'''Решение:''' '''а)''' В примере 1а из § 18 мы установили, что числу [[Image:alg36.jpg]]&nbsp; соответствует та же точка числовой окружности, что и

[[Image:alg37.jpg]]<br>'''б)&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; В примере 16 из § 18 мы установили, что числу

[[Image:alg38.jpg]] <br>'''Пример 2.''' Решить уравнение [[Image:alg39.jpg]]<br>

'''Решение.''' Учтем, что sin t — ордината точки М{<sub>1</sub>) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1<br>точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:

[[Image:alg310.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение [[Image:alg311.jpg]]<br>'''Решение.''' Учтем, что sin t — ордината точки М{<sub>1</sub>) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1<br> точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:

[[Image:alg312.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение:

[[Image:alg313.jpg]]<br>'''Р е ш е н и е. а) '''Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), п (точка С), 2п (точка А), Зп (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида пк.

[[Image:alg314.jpg]]<br>

'''б)&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109).
<br>
я&nbsp;&nbsp;&nbsp; я<br>она соответствует числу —, а значит, и всем числам вида - + 2пк.<br>167<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит, решения уравнения<br>8111 1 = 1<br>имеют вид<br>Л<br>I = - + 2 пк.<br>в) Ординату -1 имеет точка Б числовой окружности (рис. 109),<br>Л<br>она соответствует числу - —, а значит, и всем числам вида<br>-К + 2 пк. 2<br>Значит, решения уравнения<br>31П I = -1<br>имеют вид<br>1 = --+2пк. (1 2<br>Пример 5. Решить уравнение:<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; соз 1 = 0; б) соз 1 = 1; в) соз 1 = -1.<br>Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и О (рис. 109), они соответствуют чис-<br>л&nbsp;&nbsp;&nbsp; Зл&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7л<br>лам — (точка В), — (точка В), — (точка В), — (точка Б),<br>^&nbsp;&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp;&nbsp; и&nbsp;&nbsp;&nbsp; о<br>- ^ (точка Б), - — (точка В) и т.д. Короче это можно записать так:<br>с*&nbsp;&nbsp;&nbsp; С*<br>л<br>точки В к В соответствуют числам вида — + пк. Итак, решения уравнения<br>соз / = 0<br>имеют вид<br>я<br>I = - + пк.<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2пк, т.е. 2пк.<br>Значит, решения уравнения<br>соз 2=1<br>имеют вид<br>I = 271 к.<br>в)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу я, а значит, и всем числам вида п + 2пк.<br>168<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит, решения уравнения<br>сон I = -1<br>имеют вид<br>I = 71 + 2л к. &lt;1<br>Замечание. Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.<br>Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.<br>Свойство 1. Для любого значения I справедливы равенства:<br>8111 {-I) = -8111 I, соз {-I) = соз I.<br>Например,<br>я \ .я 1<br>81П |--= -8111 - =--<br>6 6 2<br>71<br>71 72<br>008 I "4 ] =С08 " = у.<br>Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-/) = = соз I. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что 8Ш (-*) = -зт I.<br>Свойство 2. Для любого значения 1: справедливы равенства-.<br>г&nbsp;&nbsp;&nbsp; Л<br>зт (&lt;■ + 271 к) =&nbsp;&nbsp;&nbsp; 81П<br>соз (1 + 2т1к) =&nbsp;&nbsp;&nbsp; СОЗ 1.<br>V&nbsp;&nbsp;&nbsp; У<br>Это очевидно, поскольку числам I и I + 2як соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).<br>169<br>5.19.Ц<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Свойство 3. Для любого значения I справедливы равенства:<br>81П (2 + 71) = -81П I, соз (2 + л) = -соз I.<br>Например,<br>7я<br>31Щ-<br>= 81П| -+Л<br>. Я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; '5»Г|&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>С08&nbsp;&nbsp;&nbsp; Л&nbsp;&nbsp;&nbsp; = С08<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; \ /&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>я&nbsp;&nbsp;&nbsp; я 42<br>- +Л = -С08" =--<br>4 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4 2<br>Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу I + л соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что<br>СО8 (2 + л) = -С08 I, 81П (I + Л) = -81П I.<br>Рис. 110<br>170<br>Рис. 111<br>5.19.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>2. Тангенс и котангенс.<br>тангенс числа<br>котангенс числа<br>Определение. Отношение синуса числа I к косинусу того же числа называют тангенсом числа I и обозначают Отношение косинуса числа I к синусу того же числа называют котангенсом числа I и обозначают V.<br>=<br>зт I<br><br>соз I<br>соз I&nbsp;&nbsp;&nbsp; зт I<br>Говоря о I, подразумевают, что сое I Ф О, т.е.<br>что IФ - + пк (см. пример 5а), а говоря о I, подразумевают, что 81П I Ф 0, т.е. что I Ф пк (см. пример 4а). Поэтому обычно определения I и сЬ§ I записывают так:<br>ВИИ&nbsp;&nbsp;&nbsp; я<br>1§г = -, Где I Ф — + пк,<br>соз г&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2<br>I ± ^ 003 I<br>с щг = ——, где I ф я к.<br>I _зт I_<br>Впредь, говоря о I или I, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент I принимает только допустимые значения:<br>я<br>IФ д + пк для I и I Ф пк для сЬ&amp; I.<br>Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:<br>Четверть&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1-я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2-я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3-я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4-я<br>1, с4е 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; +&nbsp;&nbsp;&nbsp; -&nbsp;&nbsp;&nbsp; +&nbsp;&nbsp;&nbsp; -<br>Пример 6. Вычислить:<br>я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5я&nbsp;&nbsp;&nbsp; я&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5я<br>а)1§-; б)&lt;#у; в)^^; г)с&lt;#у.<br>в&nbsp;&nbsp;&nbsp; мл&nbsp;&nbsp;&nbsp; . я 72&nbsp;&nbsp;&nbsp; Я 72<br>Р е ш е н и е. а) Имеем: зт ~ = — , со8~ = —<br>171<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит,<br>я 72 &gt;/2 .<br>5тг 7з&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>б) Имеем: ат — = -—- , соа — = - (см. второй макет<br>рис. 101). Значит,<br>*8<br>3 2 ' 2<br>я&nbsp;&nbsp;&nbsp; я<br>в)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Имеем: ат - = 1, соа - = 0. Значит,<br>сЩ = 0:1 = 0.<br>571&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; 571<br>г)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Имеем: 81*1 ^г = ^&nbsp;&nbsp;&nbsp; = ~~2~ втоР°^ макет — рис. 101). Значит,<br>5я V3 1<br>Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:<br>г&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; я 6&nbsp;&nbsp;&nbsp; я 4&nbsp;&nbsp;&nbsp; я 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; я 2<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7з 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7з&nbsp;&nbsp;&nbsp; -<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; -&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7з&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7з 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0<br>Свойство 1. Для любого допустимого значения I справедливы равенства'.<br>аёН)<br><br>172<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Доказательство. Воспользуемся тем, что соа (-(:) = сов I, а 81п (-1) = -81п I (см. свойство 1 из п. 1). Имеем:<br>сЪёН) --<br>вт(~1) _ - В1П I _ 8111 I соз(-4) соз I<br>соз(-4) соз I<br>зт(-г) - 8111 I<br>СОЗ I<br>соз I зтг<br>с1# и<br>Свойство 2. Для любого допустимого значения I справедливы равенства:<br>(I + л) =<br>Доказательство. Воспользуемся тем, что сое (г + я) = -соа а 81п (* + я) = -81п I (см. свойство 3 из п. 1). Имеем:<br>. . . 8111(4 + я) -81114 81114 ,<br>1ёи + л) = -= -- = -- = х&amp;г,<br>соз(I + я) -соз I соз I<br>. , . соз(4 + я) -соз I соз I<br>+ 71) = ---- =- = - =<br>3111(4 + я) -31114 31114<br>Нетрудно доказать, что выполняются и такие равенства: (I + 2л) = 1,1ё (I - л) = I, Ц + 2л) = I<br>и вообще<br>/■-<br>(* + пк) = Ьё I, (I + пк) = I.<br>Пример 7. Вычислить:<br>а)1*<br>7я 3<br>; б)с1§<br>Р е ш е н и е. а) По свойству 1,<br>5я 4~' 7я 3<br>7я<br>у . Так как далее<br>7я 3<br>2л + -, то<br>7я<br><br>173<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>(мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением). Итак,<br>1*<br>5я<br>(<br>б)сЛв 4-&nbsp;&nbsp;&nbsp; -<br>лись свойством 2). &lt;■]<br>: 4 = ^ (здесь мы также воспользова-<br>

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс 

<br> 

<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]</sub> 

 '''<u>Содержание урока</u>'''
 '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                       '''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас  
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии 
 
 '''<u>Практика</u>'''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
  
 '''<u>Иллюстрации</u>'''
 '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
 
 '''<u>Дополнения</u>'''
 '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                          
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие 
 
 <u>Совершенствование учебников и уроков
 </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми 
  
 '''<u>Только для учителей</u>'''
 '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год  
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации  
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
 
 
 '''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
 </u>

<br> 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам]. 

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
Возврат к странице Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81_%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81._%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81_%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81»
При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.
Разработка - Гипермаркет знаний 2008-
Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: