KNOWLEDGE HYPERMARKET

Вынесение общего множителя за скобки
Строка 1: Строка 1:
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Вынесение общего множителя за скобки</metakeywords>  
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Вынесение общего множителя за скобки</metakeywords>  
 +
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика: Вынесение общего множителя за скобки'''  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика: Вынесение общего множителя за скобки'''  
 +
<br>  
<br>  
 +
<br>  
<br>  
 +
'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ '''  
'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ '''  
 +
<br>Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требоk валось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое про? изведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим&nbsp; несколько примеров.  
<br>Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требоk валось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое про? изведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим&nbsp; несколько примеров.  
 +
'''Пример 1.''' Разложить на множители многочлен:  
'''Пример 1.''' Разложить на множители многочлен:  
 +
а) 2х + 6у, &nbsp; &nbsp; в) 4а<sup>3</sup> + 6а<sup>2</sup>; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; д) 5а<sup>4</sup> - 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>8</sup>. <br>б) а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup>;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; г) 12аЬ<sup>4</sup> - 18а<sup>2</sup>Ь<sup>3</sup>с;  
а) 2х + 6у, &nbsp; &nbsp; в) 4а<sup>3</sup> + 6а<sup>2</sup>; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; д) 5а<sup>4</sup> - 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>8</sup>. <br>б) а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup>;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; г) 12аЬ<sup>4</sup> - 18а<sup>2</sup>Ь<sup>3</sup>с;  
 +
<br>'''Р е ш е н и е.'''  
<br>'''Р е ш е н и е.'''  
 +
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.  
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.  
 +
б) а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup> = а<sup>2</sup>(а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).  
б) а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup> = а<sup>2</sup>(а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).  
 +
в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а<sup>2</sup>). Получаем: 4а<sup>3</sup> + 6а<sup>2</sup> = 2а<sup>2</sup> • 2а + 2а<sup>2</sup> • 3 = 2а<sup>2</sup> (2а + 3).  
в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а<sup>2</sup>). Получаем: 4а<sup>3</sup> + 6а<sup>2</sup> = 2а<sup>2</sup> • 2а + 2а<sup>2</sup> • 3 = 2а<sup>2</sup> (2а + 3).  
 +
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная Ь также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый <br>член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:  
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная Ь также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый <br>член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:  
 +
12аb<sup>4</sup> - 18а<sup>2</sup>Ь<sup>3</sup>с = 6аЬ<sup>3</sup> • 2b - 6аЬ<sup>3</sup> • Зас = 6аb<sup>3</sup>(2b - Зас).  
12аb<sup>4</sup> - 18а<sup>2</sup>Ь<sup>3</sup>с = 6аЬ<sup>3</sup> • 2b - 6аЬ<sup>3</sup> • Зас = 6аb<sup>3</sup>(2b - Зас).  
 +
д) 5а<sup>4</sup>-10а<sup>3</sup>+15а<sup>8</sup> = 5а<sup>3</sup>(а-2 + За<sup>2</sup>).  
д) 5а<sup>4</sup>-10а<sup>3</sup>+15а<sup>8</sup> = 5а<sup>3</sup>(а-2 + За<sup>2</sup>).  
 +
Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.  
Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.  
 +
[[Image:08-06-27.jpg]]  
[[Image:08-06-27.jpg]]  
 +
<br><br>'''''Замечание'''''. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Например:  
<br><br>'''''Замечание'''''. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Например:  
 +
[[Image:08-06-28.jpg]]
[[Image:08-06-28.jpg]]
 +
'''Пример 2.''' Разложить на множители:
'''Пример 2.''' Разложить на множители:
 +
-х<sup>4</sup>у<sup>3</sup>-2х<sup>3</sup>у<sup>2</sup> + 5х<sup>2</sup>. <br>Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.  
-х<sup>4</sup>у<sup>3</sup>-2х<sup>3</sup>у<sup>2</sup> + 5х<sup>2</sup>. <br>Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.  
 +
1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1. <br>2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х<sup>2</sup>. <br>3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.  
1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1. <br>2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х<sup>2</sup>. <br>3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.  
 +
'''В ы в о д:''' за скобки можно вынести х<sup>2</sup>. Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x<sup>2</sup>.
'''В ы в о д:''' за скобки можно вынести х<sup>2</sup>. Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x<sup>2</sup>.
 +
Получим: <br>-х<sup>4</sup>у<sup>3</sup> -2х<sup>3</sup>у<sup>2</sup>+ 5х<sup>2 </sup>= - х<sup>2</sup>(х<sup>2</sup> у<sup>3</sup> + 2ху<sup>2</sup> - 5).
Получим: <br>-х<sup>4</sup>у<sup>3</sup> -2х<sup>3</sup>у<sup>2</sup>+ 5х<sup>2 </sup>= - х<sup>2</sup>(х<sup>2</sup> у<sup>3</sup> + 2ху<sup>2</sup> - 5).
 +
'''Пример 3'''. Можно ли разделить многочлен 5а<sup>4</sup> - 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>5</sup> на одночлен 5а<sup>3</sup>? Если да, то выполнить деление.  
'''Пример 3'''. Можно ли разделить многочлен 5а<sup>4</sup> - 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>5</sup> на одночлен 5а<sup>3</sup>? Если да, то выполнить деление.  
 +
Решение. В примере 1д) мы получили, что  
Решение. В примере 1д) мы получили, что  
 +
5а<sup>4 </sup>- 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>8</sup> - 5а<sup>3</sup>(а - 2 + За<sup>2</sup>). <br>Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а<sup>3</sup>, при этом в частном получится а - 2 + За<sup>2</sup>.&nbsp; <br>Подобные примеры мы рассматривали в § 18; &nbsp;просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки. <br>&nbsp;Разложение многочлена на множители с помо щью вынесения общего множителя за скобки тесно&nbsp; связано с двумя операциями, которые мы изучали <br>в § 15 и 18, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен.  
5а<sup>4 </sup>- 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>8</sup> - 5а<sup>3</sup>(а - 2 + За<sup>2</sup>). <br>Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а<sup>3</sup>, при этом в частном получится а - 2 + За<sup>2</sup>.&nbsp; <br>Подобные примеры мы рассматривали в § 18; &nbsp;просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки. <br>&nbsp;Разложение многочлена на множители с помо щью вынесения общего множителя за скобки тесно&nbsp; связано с двумя операциями, которые мы изучали <br>в § 15 и 18, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен.  
 +
А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.  
А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.  
 +
'''Пример 4.''' Разложить на множители:  
'''Пример 4.''' Разложить на множители:  
 +
2x(x-2) + 5(x-2)<sup>2</sup>.  
2x(x-2) + 5(x-2)<sup>2</sup>.  
 +
Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим: <br>2x (x - 2) + 5 (x - 2)<sup>2</sup> = 2ху + 5у<sup>2</sup>.  
Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим: <br>2x (x - 2) + 5 (x - 2)<sup>2</sup> = 2ху + 5у<sup>2</sup>.  
 +
Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:  
Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:  
 +
2ху + 5у<sup>2</sup> — у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:  
2ху + 5у<sup>2</sup> — у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:  
 +
у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)( 2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).&nbsp;
у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)( 2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).&nbsp;
 +
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую  
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую  
 +
2х(х - 2) + 5(х - 2)<sup>2</sup> = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10). <br><br><br><br>  
2х(х - 2) + 5(х - 2)<sup>2</sup> = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10). <br><br><br><br>  
 +
<br>  
<br>  
 +
<br>  
<br>  
 +
<sub>Учебники по всему предметам [[Математика|скачать]], разработка планов уроков для учителей, Математика для 7 класса [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]</sub>  
<sub>Учебники по всему предметам [[Математика|скачать]], разработка планов уроков для учителей, Математика для 7 класса [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]</sub>  
 +
<br>  
<br>  
 +
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] [http://school.xvatit.com:82/index.php/Категория:Вынесение_общего_множителя_за_скобки._Задачи_и_упражнения задачи и упражнения]
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
-
  '''<u></u>'''
+
   
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   
Строка 128: Строка 168:
<br>  
<br>  
 +
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].  
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].  
 +
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Версия 14:52, 9 декабря 2010


Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки






                                                                  ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ



Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требоk валось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое про? изведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим  несколько примеров.


Пример 1. Разложить на множители многочлен:


а) 2х + 6у,     в) 4а3 + 6а2;           д) 5а4 - 10а3 + 15а8.
б) а3 + а2;      г) 12аЬ4 - 18а2Ь3с;



Р е ш е н и е.


а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.


б) а3 + а2 = а2(а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).


в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а2). Получаем: 4а3 + 6а2 = 2а2 • 2а + 2а2 • 3 = 2а2 (2а + 3).


г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная Ь также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый
член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:


12аb4 - 18а2Ь3с = 6аЬ3 • 2b - 6аЬ3 • Зас = 6аb3(2b - Зас).


д) 5а4-10а3+15а8 = 5а3(а-2 + За2).


Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.


08-06-27.jpg




Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Например:


08-06-28.jpg


Пример 2. Разложить на множители:


-х4у3-2х3у2 + 5х2.
Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.


1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х2.
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.


В ы в о д: за скобки можно вынести х2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x2.


Получим:
-х4у3 -2х3у2+ 5х2 = - х2(х2 у3 + 2ху2 - 5).


Пример 3. Можно ли разделить многочлен 5а4 - 10а3 + 15а5 на одночлен 5а3? Если да, то выполнить деление.


Решение. В примере 1д) мы получили, что


5а4 - 10а3 + 15а8 - 5а3(а - 2 + За2).
Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а3, при этом в частном получится а - 2 + За2. 
Подобные примеры мы рассматривали в § 18;  просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.
 Разложение многочлена на множители с помо щью вынесения общего множителя за скобки тесно  связано с двумя операциями, которые мы изучали
в § 15 и 18, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен.


А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.


Пример 4. Разложить на множители:


2x(x-2) + 5(x-2)2.


Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:
2x (x - 2) + 5 (x - 2)2 = 2ху + 5у2.


Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:


2ху + 5у2 — у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:


у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)( 2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10). 


В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую


2х(х - 2) + 5(х - 2)2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).








Учебники по всему предметам скачать, разработка планов уроков для учителей, Математика для 7 класса онлайн 




Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки



Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.


Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8F_%D0%B7%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BA%D0%B8»

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: