Метод подстановки — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Метод подстановки

 		Версия 15:26, 9 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
 (Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
← Предыдущая правка
		Текущая версия на 16:12, 15 июня 2012 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
 
		
(7 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1:
Строка 1:
- <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Метод подстановки</metakeywords>   + <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Метод подстановки, системы, уравнение, алгебраический язык</metakeywords>  
  
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Метод подстановки'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Метод подстановки'''  
Строка 5:
Строка 5:
 <br>    <br>  
  
  + '''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Метод подстановки''' 
  
  + <br>Вернемся еще раз к '''[[Закриті вправи: Графічний спосіб розв'язування системи лінійних рівнянь з двома змінними|системе]]''' B) из § 35: 
  
- &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '''ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ''' + [[Image:09-06-89.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом. 
  
- <br>В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, Ь, с — конкретные числа, причем [[Image:09-06-78.jpg]] — переменные (неизвестные). <br>Примеры линейных уравнений с двумя переменными: <br>2х - bу + 1 = 0; <br>х + у - 3 = 0; <br>s - 5t + 4 = 0 <br>(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).   + Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]''' преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2).  
  
- В том же § 28 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у. + Теперь систему можно переписать так: 
  
- Приведем примеры: <br>1. (2; 3) — решение уравнения 5x + Зу - 19 = 0. В самом деле, 5 • 2 + 3 • 3 - 19 = 0 — верное числовое равенство. <br>2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) -2 + 14 = 0 — верное числовое равенство. <br>3.[[Image:09-06-79.jpg]] — решение уравнения - 0,4а: + Зу + 7 = 0. Имеем: + [[Image:09-06-90.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2. <br>Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).  
  
- [[Image:09-06-80.jpg]] — верное числовое равенство. <br>4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2*1-3*2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство <br>(получается, что -3 = 0). <br>В § 29 мы отмечали, что математическую модель ах + by + <br>+ с = 0 всегда можно заменить более простой: у = kx + т. Напри- <br>мер, уравнение Зх - 4у + 12 = 0 можно преобразовать так: <br>4у - Sx + 12; <br>3 <br>Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0 является пря- <br>мая (см. § 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетво- <br>ряют уравнению ах + by + с = 0, т. е. являются решением уравне- <br>ния. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько <br>же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком <br>уравнения ах + by + с = 0, т. е. бесконечное множество решений. <br>Многие реальные ситуации при переводе на математический язык <br>оформляются в виде математической модели, состоящей из двух <br>линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы <br>встретились в § 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова: <br>математическая модель состояла из двух уравнений: <br>5а: - 2у = 0 и Sx + 2у - 16 = 0, причем нас интересовала такая пара <br>значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и дру- <br>гому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что матема- <br>тическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что мате- <br>матическая модель представляет собой систему уравнений. <br>Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя перемен- <br>ными х и у: atx + bty + cx = 0 и агх + b2i/ + с2 = 0 и поставлена задача <br>— найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удов- <br>летворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные <br>уравнения образуют систему уравнений. Уравнения <br>системы записывают друг под другом и объединяют <br>специальным символом — фигурной скобкой: <br>система <br>уравнений <br>решение <br>системы <br>уравнений <br>Пару значений (х; у), которая одновременно яв- <br>ляется решением и первого, и второго уравнений <br>системы, называют решением системы. <br>Решить систему — это значит найти все ее ре- <br>шения или установить, что их нет. <br>Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой <br>линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой <br>задачи про садоводов из § 28 выглядела так: <br>B) <br>Ее решением была пара B; 5), т. е. х = 2, у = 5. <br>Рассмотрим новые примеры. <br>Пример 1. Решить систему уравнений <br>0. C) <br>Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является пря- <br>мая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяю- <br>щих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 <br>находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 нахо- <br>дим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: E; 0) и @; 2,5). Построим на <br>координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две <br>точки, — прямая lt на рисунке 70. <br>Графиком уравнения 2х + \у + 3 = 0 также является прямая. <br>Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих это- <br>му уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + ±у + 3 = 0 находим: <br>х = -1,5. Если х — 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим: <br>5 + 4у + 3 = 0, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки: <br>(-1,5; 0) и B,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу пря- <br>мую, проходящую через эти две точки, — прямая 12 на рисунке 70. <br>Прямые lt и 12 параллельны. Что означает этот геометрический <br>факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет реше- <br>ний (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому, <br>и другому уравнению, т.е. принадлежащих одновременно и той, и <br>другой из построенных прямых 1г и 12). <br>Ответ: система не имеет решений. <br>Пример 2. Найти два числа, если известно, что их сумма <br>равна 39, а разность равна 11. <br>Решение. Если х, у — искомые числа, то х + у = 39 <br>и!-р 11, причем эти равенства должны одновременно выпол- <br>няться: <br>+ У = 39, D) <br>х-у = П. <br>Получили систему двух линейных уравнений с двумя пере- <br>менными. <br>Можно угадать, чему равны х и у: х = 25, у = 14. Но, во-первых, <br>метод угадывания далеко не всегда применим на практике. А во- <br>вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы про- <br>сто до него не додумались, не «доугадали». <br>Моэт^но построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это <br>прямые, причем непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1), <br>они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: B5; 14); <br>значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единствен- <br>ное решение системы. <br>Ответ: 25и 14. <br>• <br>1, <br>У) <br>S <br>� <br>ь <br>J 1 <br>ч, <br>} <br>V <br>1 1 <br>S <br>&gt; <br>В примерах 1 и 2 мы применили графический <br>метод решения системы линейных уравнений. Этим <br>же методом мы пользовались в § 28 при решении зада- <br>чи о числе яблонь у двух садоводов (система B) реше- <br>на в § 28 графическим методом). <br>К сожалению, графический метод, как и метод <br>угадывания, не самый надежный. Во-первых, пря- <br>мые могут просто не уместиться на чертеже. Во- <br>вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но <br>пересечься в точке, координаты которой по черте- <br>жу не очень легко определить. <br>Пример 3. Решить систему уравнений: <br>Рис.70 <br>7 = 0. &lt;5&gt; <br>Решение. Построим графики уравнений <br>системы. Сначала, как это чаще всего мы делаем, <br>преобразуем оба уравнения к виду линейной функ- <br>ции. Из первого уравнения получаем: у = 3* - 5, а из <br>второго: у = 7 - 2х. <br>Построим в одной системе координат графи- <br>ки линейных функций у = За: - 5 (прямая lt на <br>рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они <br>пересекаются в точке А, координаты которой — <br>единственное решение заданной системы. А вот <br>чему конкретно равны абсцисса и ордината точ- <br>ки Л, мы по рисунку 71 точно определить не смо- <br>жем (постройте эти прямые в своих тетрадях в <br>клеточку и убедитесь, что точка А как бы «ви- <br>сит» внутри определенной клеточки). Придется <br>нам позднее вернуться к этому примеру. О <br>Но все-таки графический метод решения системы линейных <br>уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать <br>следующие важные выводы'. <br>графиками обоих уравнений системы A) являются прямые; <br>эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — <br>это значит, что система A) имеет единственное решение (так было <br>в рассмотренных в этом параграфе системах B), D), E); <br>эти прямые могут быть параллельны — это зна- <br>чит, что система не имеет решений (говорят также, <br>что система несовместна — такой была система C)); <br>эти прямые могут совпасть — это значит, что сис- <br>тема имеет бесконечно много решений (говорят также, <br>что система неопределенна). <br>Итак, мы познакомились с новой математичес- <br>кой моделью A) — системой двух линейных уравне- <br>неопределенная HHg с двумя переменными. Наша задача — научить- <br>система ся ее решать. Метод угадывания ненадежен, графи- <br>ческий метод также выручает не всегда. Значит, нам <br>нужно располагать надежными алгебраическими методами решения <br>системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и <br>пойдет речь в следующих параграфах. <br><br><br>146 <br><br> + Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на '''[[Что такое математический язык|алгебраическом языке]]'''. Как же мы рассуждали? 
  
  + Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у. 
  
  + И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение 
  
- <sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] </sub> <br>   + Зx + 2у - 16 = 0. 
  +  
  + Смотрите: <br>Зx + 2-2,5x-16 = 0; <br>Зx + 5x = 16; <br>8x = 16; <br>х = 2. 
  +  
  + Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм. 
  +  
  + Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки 
  +  
  + <br> 
  +  
  + [[Image:09-06-91.jpg|480px|Алгоритм решения системы двух уравнений]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить систему уравнений: 
  +  
  + [[Image:09-06-92.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Решение. 
  +  
  + 1) Из первого уравнения системы получаем: 
  +  
  + у = Зx - 5. <br>2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы: <br>2х + (3x - 5) - 7 = 0. <br>3) Решим полученное уравнение: <br>2х + Зx - 5 - 7 = 0; 
  +  
  + [[Image:09-06-93.jpg|120px|Уравнение]]<br><br>4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5: 
  +  
  + <br> 
  +  
  + [[Image:09-06-94.jpg|360px|Математическая модель]]<br><br>5) Пара [[Image:09-06-95.jpg|120px|Решение]]— единственное решение заданной системы. <br><br>Ответ: [[Image:09-06-96.jpg|80px|Ответ]]. <br>Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее '''[[Графическое решение уравнений|графическим методом]]''', и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть <br>может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.<br> 
  +  
  + Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты. <br> 
  +  
  + '''Пример 2'''. Решить систему уравнений: <br> 
  +  
  + [[Image:09-06-97.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Решение. <br> 
  +  
  + 1) Выразим х через у из второго уравнения: <br> 
  +  
  + x = 11 - 12y<br> 
  +  
  + 2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы: <br>5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0<br>3) Решим полученное уравнение: <br>55 - 60у - Зу + 8 = 0; <br>63 - 63y = 0; <br>63y = 63; <br>y = 1<br> 
  +  
  + 4) Подставим найденное значение у в формулу 
  +  
  + х = 11 - 12'''<sup></sup>'''<sup></sup>1 =-1. <br>5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы. <br>От в ет: (- 1; 1). <br><br> <br> 
  +  
  + <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub>  
  +  
  + <br>  
  +  
  + ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 
  
   '''<u>Содержание урока</u>'''    '''<u>Содержание урока</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                       ''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                       '''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас    +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
         
   '''<u>Практика</u>'''    '''<u>Практика</u>'''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-   +  
   '''<u>Иллюстрации</u>'''    '''<u>Иллюстрации</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа ''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
         
   '''<u>Дополнения</u>'''    '''<u>Дополнения</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                            +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
   '''<u></u>'''    '''<u></u>'''
   <u>Совершенствование учебников и уроков    <u>Совершенствование учебников и уроков
-   </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике''' +   </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-   +  
   '''<u>Только для учителей</u>'''    '''<u>Только для учителей</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки ''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год    +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации    +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
         
         
Текущая версия на 16:12, 15 июня 2012
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Метод подстановки 

 
                                Метод подстановки 

Вернемся еще раз к системе B) из § 35: 


Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом. 
Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе уравнение преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2). 
Теперь систему можно переписать так: 


Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2. 
Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно). 
Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали? 
Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у. 
И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение 
Зx + 2у - 16 = 0. 
Смотрите: 
Зx + 2-2,5x-16 = 0; 
Зx + 5x = 16; 
8x = 16; 
х = 2. 
Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм. 
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки 

 


Пример 1. Решить систему уравнений: 


Решение. 
1) Из первого уравнения системы получаем: 
у = Зx - 5. 
2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы: 
2х + (3x - 5) - 7 = 0. 
3) Решим полученное уравнение: 
2х + Зx - 5 - 7 = 0; 


4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5: 

 


5) Пара — единственное решение заданной системы. 

Ответ: . 
Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее графическим методом, и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть 
может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.
 
Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты. 
 
Пример 2. Решить систему уравнений: 
 


Решение. 
 
1) Выразим х через у из второго уравнения: 
 
x = 11 - 12y
 
2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы: 
5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0
3) Решим полученное уравнение: 
55 - 60у - Зу + 8 = 0; 
63 - 63y = 0; 
63y = 63; 
y = 1
 
4) Подставим найденное значение у в формулу 
х = 11 - 121 =-1. 
5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы. 
От в ет: (- 1; 1). 

 
 

 _{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать} 

 
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Метод подстановки</metakeywords>
+<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Метод подстановки, системы, уравнение, алгебраический язык</metakeywords>
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Метод подстановки'''
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 <br>
+'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Метод подстановки'''
+<br>Вернемся еще раз к '''[[Закриті вправи: Графічний спосіб розв'язування системи лінійних рівнянь з двома змінними|системе]]''' B) из § 35:
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '''ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ '''
+[[Image:09-06-89.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом.
-<br>В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, Ь, с — конкретные числа, причем [[Image:09-06-78.jpg]] — переменные (неизвестные). <br>Примеры линейных уравнений с двумя переменными: <br>2х - bу + 1 = 0; <br>х + у - 3 = 0; <br>s - 5t + 4 = 0 <br>(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).
+Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]''' преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2).
-В том же § 28 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у.
+Теперь систему можно переписать так:
-Приведем примеры: <br>1. (2; 3) — решение уравнения 5x + Зу - 19 = 0. В самом деле, 5 • 2 + 3 • 3 - 19 = 0 — верное числовое равенство. <br>2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) -2 + 14 = 0 — верное числовое равенство. <br>3.[[Image:09-06-79.jpg]] — решение уравнения - 0,4а: + Зу + 7 = 0. Имеем:
+[[Image:09-06-90.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2. <br>Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).
-[[Image:09-06-80.jpg]] — верное числовое равенство. <br>4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2*1-3*2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство <br>(получается, что -3 = 0). <br>В § 29 мы отмечали, что математическую модель ах + by + <br>+ с = 0 всегда можно заменить более простой: у = kx + т. Напри- <br>мер, уравнение Зх - 4у + 12 = 0 можно преобразовать так: <br>4у - Sx + 12; <br>3 <br>Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0 является пря- <br>мая (см. § 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетво- <br>ряют уравнению ах + by + с = 0, т. е. являются решением уравне- <br>ния. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько <br>же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком <br>уравнения ах + by + с = 0, т. е. бесконечное множество решений. <br>Многие реальные ситуации при переводе на математический язык <br>оформляются в виде математической модели, состоящей из двух <br>линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы <br>встретились в § 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова: <br>математическая модель состояла из двух уравнений: <br>5а: - 2у = 0 и Sx + 2у - 16 = 0, причем нас интересовала такая пара <br>значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и дру- <br>гому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что матема- <br>тическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что мате- <br>матическая модель представляет собой систему уравнений. <br>Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя перемен- <br>ными х и у: atx + bty + cx = 0 и агх + b2i/ + с2 = 0 и поставлена задача <br>— найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удов- <br>летворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные <br>уравнения образуют систему уравнений. Уравнения <br>системы записывают друг под другом и объединяют <br>специальным символом — фигурной скобкой: <br>система <br>уравнений <br>решение <br>системы <br>уравнений <br>Пару значений (х; у), которая одновременно яв- <br>ляется решением и первого, и второго уравнений <br>системы, называют решением системы. <br>Решить систему — это значит найти все ее ре- <br>шения или установить, что их нет. <br>Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой <br>линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой <br>задачи про садоводов из § 28 выглядела так: <br>B) <br>Ее решением была пара B; 5), т. е. х = 2, у = 5. <br>Рассмотрим новые примеры. <br>Пример 1. Решить систему уравнений <br>0. C) <br>Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является пря- <br>мая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяю- <br>щих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 <br>находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 нахо- <br>дим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: E; 0) и @; 2,5). Построим на <br>координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две <br>точки, — прямая lt на рисунке 70. <br>Графиком уравнения 2х + \у + 3 = 0 также является прямая. <br>Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих это- <br>му уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + ±у + 3 = 0 находим: <br>х = -1,5. Если х — 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим: <br>5 + 4у + 3 = 0, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки: <br>(-1,5; 0) и B,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу пря- <br>мую, проходящую через эти две точки, — прямая 12 на рисунке 70. <br>Прямые lt и 12 параллельны. Что означает этот геометрический <br>факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет реше- <br>ний (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому, <br>и другому уравнению, т.е. принадлежащих одновременно и той, и <br>другой из построенных прямых 1г и 12). <br>Ответ: система не имеет решений. <br>Пример 2. Найти два числа, если известно, что их сумма <br>равна 39, а разность равна 11. <br>Решение. Если х, у — искомые числа, то х + у = 39 <br>и!-р 11, причем эти равенства должны одновременно выпол- <br>няться: <br>+ У = 39, D) <br>х-у = П. <br>Получили систему двух линейных уравнений с двумя пере- <br>менными. <br>Можно угадать, чему равны х и у: х = 25, у = 14. Но, во-первых, <br>метод угадывания далеко не всегда применим на практике. А во- <br>вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы про- <br>сто до него не додумались, не «доугадали». <br>Моэт^но построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это <br>прямые, причем непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1), <br>они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: B5; 14); <br>значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единствен- <br>ное решение системы. <br>Ответ: 25и 14. <br>• <br>1, <br>У) <br>S <br>� <br>ь <br>J 1 <br>ч, <br>} <br>V <br>1 1 <br>S <br>&gt; <br>В примерах 1 и 2 мы применили графический <br>метод решения системы линейных уравнений. Этим <br>же методом мы пользовались в § 28 при решении зада- <br>чи о числе яблонь у двух садоводов (система B) реше- <br>на в § 28 графическим методом). <br>К сожалению, графический метод, как и метод <br>угадывания, не самый надежный. Во-первых, пря- <br>мые могут просто не уместиться на чертеже. Во- <br>вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но <br>пересечься в точке, координаты которой по черте- <br>жу не очень легко определить. <br>Пример 3. Решить систему уравнений: <br>Рис.70 <br>7 = 0. &lt;5&gt; <br>Решение. Построим графики уравнений <br>системы. Сначала, как это чаще всего мы делаем, <br>преобразуем оба уравнения к виду линейной функ- <br>ции. Из первого уравнения получаем: у = 3* - 5, а из <br>второго: у = 7 - 2х. <br>Построим в одной системе координат графи- <br>ки линейных функций у = За: - 5 (прямая lt на <br>рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они <br>пересекаются в точке А, координаты которой — <br>единственное решение заданной системы. А вот <br>чему конкретно равны абсцисса и ордината точ- <br>ки Л, мы по рисунку 71 точно определить не смо- <br>жем (постройте эти прямые в своих тетрадях в <br>клеточку и убедитесь, что точка А как бы «ви- <br>сит» внутри определенной клеточки). Придется <br>нам позднее вернуться к этому примеру. О <br>Но все-таки графический метод решения системы линейных <br>уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать <br>следующие важные выводы'. <br>графиками обоих уравнений системы A) являются прямые; <br>эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — <br>это значит, что система A) имеет единственное решение (так было <br>в рассмотренных в этом параграфе системах B), D), E); <br>эти прямые могут быть параллельны — это зна- <br>чит, что система не имеет решений (говорят также, <br>что система несовместна — такой была система C)); <br>эти прямые могут совпасть — это значит, что сис- <br>тема имеет бесконечно много решений (говорят также, <br>что система неопределенна). <br>Итак, мы познакомились с новой математичес- <br>кой моделью A) — системой двух линейных уравне- <br>неопределенная HHg с двумя переменными. Наша задача — научить- <br>система ся ее решать. Метод угадывания ненадежен, графи- <br>ческий метод также выручает не всегда. Значит, нам <br>нужно располагать надежными алгебраическими методами решения <br>системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и <br>пойдет речь в следующих параграфах. <br><br><br>146 <br><br>
+Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на '''[[Что такое математический язык|алгебраическом языке]]'''. Как же мы рассуждали?
+Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у.
+И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение
-<sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] </sub> <br>
+Зx + 2у - 16 = 0.
+Смотрите: <br>Зx + 2-2,5x-16 = 0; <br>Зx + 5x = 16; <br>8x = 16; <br>х = 2.
+Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.
+Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки
+<br>
+[[Image:09-06-91.jpg|480px|Алгоритм решения системы двух уравнений]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить систему уравнений:
+[[Image:09-06-92.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Решение.
+) Из первого уравнения системы получаем:
+у = Зx - 5. <br>2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы: <br>2х + (3x - 5) - 7 = 0. <br>3) Решим полученное уравнение: <br>2х + Зx - 5 - 7 = 0;
+[[Image:09-06-93.jpg|120px|Уравнение]]<br><br>4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5:
+<br>
+[[Image:09-06-94.jpg|360px|Математическая модель]]<br><br>5) Пара [[Image:09-06-95.jpg|120px|Решение]]— единственное решение заданной системы. <br><br>Ответ: [[Image:09-06-96.jpg|80px|Ответ]]. <br>Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее '''[[Графическое решение уравнений|графическим методом]]''', и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть <br>может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.<br>
+Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты. <br>
+'''Пример 2'''. Решить систему уравнений: <br>
+[[Image:09-06-97.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Решение. <br>
+) Выразим х через у из второго уравнения: <br>
+x = 11 - 12y<br>
+) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы: <br>5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0<br>3) Решим полученное уравнение: <br>55 - 60у - Зу + 8 = 0; <br>63 - 63y = 0; <br>63y = 63; <br>y = 1<br>
+) Подставим найденное значение у в формулу
+х = 11 - 12'''<sup></sup>'''<sup></sup>1 =-1. <br>5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы. <br>От в ет: (- 1; 1). <br><br> <br>
+<br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub>
+<br>
+''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''
   '''<u>Содержание урока</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                       '''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                       '''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
   '''<u>Практика</u>'''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
   '''<u>Иллюстрации</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   '''<u>Дополнения</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
   '''<u></u>'''
   <u>Совершенствование учебников и уроков
-  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
   '''<u>Только для учителей</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: