KNOWLEDGE HYPERMARKET

Метод подстановки
 
(6 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Метод подстановки</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Метод подстановки, системы, уравнение, алгебраический язык</metakeywords>  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Метод подстановки'''  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Метод подстановки'''  
Строка 5: Строка 5:
<br>  
<br>  
-
<br>
+
'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Метод подстановки'''
-
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '''ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ '''  
+
<br>Вернемся еще раз к '''[[Закриті вправи: Графічний спосіб розв'язування системи лінійних рівнянь з двома змінними|системе]]''' B) из § 35:
-
<br>В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, Ь, с — конкретные числа, причем [[Image:09-06-78.jpg]] — переменные (неизвестные). <br>Примеры линейных уравнений с двумя переменными: <br>2х - bу + 1 = 0; <br>х + у - 3 = 0; <br>s - 5t + 4 = 0 <br>(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).  
+
[[Image:09-06-89.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом.  
-
В том же § 28 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у.  
+
Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе '''[[Рівняння з двома змінними та його розв'язок. Презентація уроку|уравнение]]''' преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2).  
-
Приведем примеры: <br>1. (2; 3) — решение уравнения 5x + Зу - 19 = 0. В самом деле, 5 • 2 + 3 • 3 - 19 = 0 — верное числовое равенство. <br>2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) -2 + 14 = 0 — верное числовое равенство. <br>3.[[Image:09-06-79.jpg]] — решение уравнения - 0,4а: + Зу + 7 = 0. Имеем:  
+
Теперь систему можно переписать так:  
-
[[Image:09-06-80.jpg]] — верное числовое равенство. <br>4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2 •1-3 •2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство (получается, что -3 = 0). <br>В § 29 мы отмечали, что математическую модель ах + by + + с = 0 всегда можно заменить более простой: у = kx + m. Например, уравнение Зх - 4у + 12 = 0 можно преобразовать так:
+
[[Image:09-06-90.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2. <br>Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).
-
[[Image:09-06-81.jpg]]<br>Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0 является прямая (см. § 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению ах + by + с = 0, т. е. являются решением уравнения. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком уравнения ах + by + с = 0, т. е. бесконечное множество решений.
+
Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на '''[[Что такое математический язык|алгебраическом языке]]'''. Как же мы рассуждали?  
-
Многие реальные ситуации при переводе на математический язык оформляются в виде математической модели, состоящей из двух линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы встретились в § 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова:
+
Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у.
-
математическая модель состояла из двух уравнений: <br>5x - 2у = 0 и 3x + 2у - 16 = 0, причем нас интересовала такая пара значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и другому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.
+
И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение
-
Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя переменными х и у: a<sub>1</sub>x + b<sub>1</sub>y + c<sub>1</sub> = 0 и а<sub>2</sub>х + b<sub>2</sub>y + с<sub>2</sub> = 0 и поставлена задача — найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.  
+
Зx + 2у - 16 = 0.  
-
равнения <br>системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой: <br>[[Image:09-06-82.jpg]]<br>Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы. <br>Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. <br>Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про садоводов из § 28 выглядела так:
+
Смотрите: <br>Зx + 2-2,5x-16 = 0; <br>Зx + 5x = 16; <br>8x = 16; <br>х = 2.
-
[[Image:09-06-83.jpg]]<br><br>Ее решением была пара (2; 5), т. е. х = 2, у = 5. <br>Рассмотрим новые примеры. <br>'''Пример 1.''' Решить систему уравнений
+
Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.  
-
[[Image:09-06-84.jpg]]<br><br>Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: (5; 0) и (0; 2,5). Построим на <br>координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая l<sub>1</sub> на рисунке 70.
+
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки
-
Графиком уравнения 2х + \у + 3 = 0 также является прямая.
+
<br>
-
Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + ±у + 3 = 0 находим: х = -1,5. Если х — 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим: 5 + 4у + 3 = 0, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки: (-1,5; 0) и (2,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая I<sub>2</sub> на рисунке 70.  
+
[[Image:09-06-91.jpg|480px|Алгоритм решения системы двух уравнений]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить систему уравнений:
-
Прямые l<sub>1</sub> и I<sub>2</sub> параллельны. Что означает этот геометрический факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет решений (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому, и другому уравнению, т.е. принадлежащих одновременно и той, и другой из построенных прямых I<sub>1</sub> и I<sub>2</sub>).  
+
[[Image:09-06-92.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Решение.  
-
Ответ: система не имеет решений.
+
1) Из первого уравнения системы получаем:  
-
'''Пример 2.''' Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность равна 11. <br>Решение. Если х, у — искомые числа, то х + у = 39 и&nbsp; x - y = 11, причем эти равенства должны одновременно выполняться:  
+
у = Зx - 5. <br>2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы: <br>2х + (3x - 5) - 7 = 0. <br>3) Решим полученное уравнение: <br>2х + Зx - 5 - 7 = 0;
-
[[Image:09-06-85.jpg]]
+
[[Image:09-06-93.jpg|120px|Уравнение]]<br><br>4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5:
-
<br>Получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными.
+
<br>  
-
Можно угадать, чему равны х и у: х = 25, у = 14. Но, во-первых, метод угадывания далеко не всегда применим на практике. А во-вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы просто до него не додумались, не «доугадали».  
+
[[Image:09-06-94.jpg|360px|Математическая модель]]<br><br>5) Пара [[Image:09-06-95.jpg|120px|Решение]]— единственное решение заданной системы. <br><br>Ответ: [[Image:09-06-96.jpg|80px|Ответ]]. <br>Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее '''[[Графическое решение уравнений|графическим методом]]''', и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть <br>может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.<br>
-
Можно построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это прямые, причем непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1), они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: (25; 14); значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единственное решение системы. <br>Ответ: 25 и 14.  
+
Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты. <br>
-
[[Image:09-06-86.jpg]]<br><br>В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения системы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в § 28 при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (система B) решена в § 28 графическим методом).
+
'''Пример 2'''. Решить систему уравнений: <br>  
-
К сожалению, графический метод, как и метод угадывания, не самый надежный. Во-первых, прямые могут просто не уместиться на чертеже. Во- вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить.  
+
[[Image:09-06-97.jpg|160px|Математическая модель]]<br><br>Решение. <br>
-
'''Пример 3'''. Решить систему уравнений:  
+
1) Выразим х через у из второго уравнения: <br>
-
[[Image:09-06-87.jpg]]<br><br>Решение. Построим графики уравнений системы. Сначала, как это чаще всего мы делаем, преобразуем оба уравнения к виду линейной функции. Из первого уравнения получаем: у = 3x - 5, а из второго: у = 7 - 2х.
+
x = 11 - 12y<br>  
-
Построим в одной системе координат графики линейных функций у = Зx - 5 (прямая l<sub>1</sub> на рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они пересекаются в точке А, координаты которой — единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки A, мы по рисунку 71 точно определить не сможем (постройте эти прямые в своих тетрадях в клеточку и убедитесь, что точка А как бы «висит» внутри определенной клеточки). Придется <br>нам позднее вернуться к этому примеру.
+
2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы: <br>5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0<br>3) Решим полученное уравнение: <br>55 - 60у - Зу + 8 = 0; <br>63 - 63y = 0; <br>63y = 63; <br>y = 1<br>  
-
[[Image:09-06-88.jpg]]
+
4) Подставим найденное значение у в формулу
-
Но все-таки графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы'. <br>графиками обоих уравнений системы (1) являются прямые; эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — это значит, что система (1) имеет единственное решение (так было в рассмотренных в этом параграфе системах (2), (4), (5); эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой была система (3)); эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна).  
+
х = 11 - 12'''<sup></sup>'''<sup></sup>1 =-1. <br>5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы. <br>От в ет: (- 1; 1). <br><br> <br>
-
Итак, мы познакомились с новой математической моделью (1) — системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Наша задача — научиться ее решать. Метод угадывания ненадежен, графический метод также выручает не всегда. Значит, нам нужно располагать надежными алгебраическими методами решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдет речь в следующих параграфах. <br><br><br><br>  
+
<br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub>  
-
<sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] </sub> <br>
+
<br>  
 +
 
 +
''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 16:12, 15 июня 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Метод подстановки


                                Метод подстановки


Вернемся еще раз к системе B) из § 35:

Математическая модель

Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом.

Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе уравнение преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2).

Теперь систему можно переписать так:

Математическая модель

Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2.
Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).

Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали?

Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у.

И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение

Зx + 2у - 16 = 0.

Смотрите:
Зx + 2-2,5x-16 = 0;
Зx + 5x = 16;
8x = 16;
х = 2.

Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки


Алгоритм решения системы двух уравнений

Пример 1. Решить систему уравнений:

Математическая модель

Решение.

1) Из первого уравнения системы получаем:

у = Зx - 5.
2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы:
2х + (3x - 5) - 7 = 0.
3) Решим полученное уравнение:
2х + Зx - 5 - 7 = 0;

Уравнение

4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5:


Математическая модель

5) Пара Решение— единственное решение заданной системы.

Ответ: Ответ.
Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее графическим методом, и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть
может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.

Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Математическая модель

Решение.

1) Выразим х через у из второго уравнения:

x = 11 - 12y

2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы:
5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0
3) Решим полученное уравнение:
55 - 60у - Зу + 8 = 0;
63 - 63y = 0;
63y = 63;
y = 1

4) Подставим найденное значение у в формулу

х = 11 - 121 =-1.
5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы.
От в ет: (- 1; 1).



Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8»

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: