|
|
Строка 3: |
Строка 3: |
| '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Модуль действительного числа''' | | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Модуль действительного числа''' |
| | | |
- | '''<br>''' | + | '''<br>''''''Модуль действительного числа'''<br> |
| | | |
- | <br> | + | <br><u>1.'''Модуль действительного числа'''</u> |
| | | |
- | ''' МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА '''<br> | + | и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием '''[[Задачі до теми «Модуль числа»|модуля]]''' (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа. |
| | | |
- | <br>1.'''Модуль действительного числа'''
| + | '''''Определение'''''. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х. |
| | | |
- | и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо <br>ввести понятие модуля для любого действительного числа.
| + | Короче это записывают так: |
| | | |
- | '''''Определение'''''. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х. <br>Короче это записывают так:
| + | [[Image:14-06-125.jpg|320px|Модуль действительного числа]]<br><br>Например, |
| | | |
- | [[Image:14-06-125.jpg]]<br><br>Например, | + | [[Image:14-06-126.jpg|420px|примеры]]<br><br>На практике используют различные свойства модулей, например: |
| | | |
- | [[Image:14-06-126.jpg]]<br><br>На практике используют различные свойства модулей, например: <br>1. |а|[[Image:14-06-120.jpg]] 0. <br>2.|аb| =|a| |b|. <br>[[Image:14-06-127.jpg]]<br><br>'''2. Геометрический смысл модуля действительного числа'''
| + | 1. |а|[[Image:14-06-120.jpg]] 0. <br>2.|аb| =|a| |b|. <br>[[Image:14-06-127.jpg|120px|Примеры]]<br><br><u>'''2. Геометрический смысл модуля действительного числа'''</u> |
| | | |
- | Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через [[Image:14-06-128.jpg]] (a, b) расстояние между точками а и b ([[Image:14-06-128.jpg]] — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если <br>b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b. <br> | + | Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической '''[[Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций |модели]]''' — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через [[Image:14-06-128.jpg]] (a, b) расстояние между точками а и b ([[Image:14-06-128.jpg]] — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b. <br> |
| | | |
- | [[Image:14-06-129.jpg]]<br><br>Все три случая охватываются одной формулой: <br> | + | [[Image:14-06-129.jpg|480px|Задание]]<br><br>Все три случая охватываются одной формулой: <br> |
| | | |
- | [[Image:14-06-130.jpg]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить уравнения: <br>а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - [[Image:14-06-118.jpg]] I = 0. <br>Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет <br>два корня: - 1 и 5. | + | [[Image:14-06-130.jpg|180px|Формула]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить '''[[Розв'язування рівнянь. Презентація уроку|уравнения]]''': |
| + | |
| + | а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - [[Image:14-06-118.jpg]] I = 0. <br>Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5. |
| | | |
| б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее [[Image:14-06-128.jpg]] (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2. <br> | | б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее [[Image:14-06-128.jpg]] (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2. <br> |
| | | |
- | [[Image:14-06-131.jpg]]<br><br>в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'. <br>г) Для уравнения | + | [[Image:14-06-131.jpg|480px|Задание]]<br><br>в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'. |
| | | |
- | <br>|х - [[Image:14-06-118.jpg]]| = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - [[Image:14-06-118.jpg]] = 0, т. е. х = [[Image:14-06-118.jpg]] . | + | г) Для уравнения<br>|х - [[Image:14-06-118.jpg]]| = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - [[Image:14-06-118.jpg]] = 0, т. е. х = [[Image:14-06-118.jpg]] . |
| | | |
- | '''Пример 2.''' Решить уравнения: <br>а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2. | + | '''Пример 2.''' Решить уравнения: |
| | | |
- | Р е ш е н и е. а) Имеем
| + | а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2. |
| | | |
- | |2x - 6| = |2(x -3)| =|2|'''.'''| = 2|x -3|<br>Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду <br>2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4. <br>Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 <br>(рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7. <br>б) Имеем
| + | Р е ш е н и е. |
| | | |
- | [[Image:14-06-132.jpg]]<br><br>Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду
| + | а) Имеем|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|'''.'''| = 2|x -3| |
| | | |
- | [[Image:14-06-133.jpg]]<br><br>Переведем аналитическую модель [[Image:14-06-134.jpg]] на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
| + | Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду |
| | | |
- | [[Image:14-06-135.jpg]]
| + | 2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4. |
| | | |
- | Значит, они удалены от точки [[Image:14-06-145.jpg]] , на расстояние, равное 2.
| + | Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7. |
| | | |
- | <br> | + | б) Имеем |
| + | |
| + | [[Image:14-06-132.jpg|480px|Задание]]<br><br>Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду |
| + | |
| + | [[Image:14-06-133.jpg|320px|Задание]]<br><br>Переведем аналитическую модель [[Image:14-06-134.jpg|модель]] на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-135.jpg]] |
| + | |
| + | Значит, они удалены от точки [[Image:14-06-145.jpg|120px|Дроби]] , на расстояние, равное 2.<br> |
| | | |
- | [[Image:14-06-138.jpg]]<br><br>в) Для уравнения | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число. | + | [[Image:14-06-138.jpg|480px|модель]]<br><br>в) Для уравнения | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число. |
| | | |
| '''Пример 3.''' Построить график функции у = |х + 2 |. | | '''Пример 3.''' Построить график функции у = |х + 2 |. |
Строка 53: |
Строка 61: |
| Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111). | | Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111). |
| | | |
- | [[Image:14-06-139.jpg]]<br><br>4. Тождество [[Image:14-06-140.jpg]]<br>Мы знаем, что если [[Image:14-06-141.jpg]].А как быть, если а < 0? Написать у [[Image:14-06-142.jpg]] в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что [[Image:14-06-143.jpg]], а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным. | + | [[Image:14-06-139.jpg|480px|Графики]]<br><br>4. Тождество [[Image:14-06-140.jpg|Тождество ]]<br>Мы знаем, что если [[Image:14-06-141.jpg|Доказательство]].А как быть, если а < 0? Написать у [[Image:14-06-142.jpg|Доказательство]] в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что [[Image:14-06-143.jpg|Доказательство]], а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным. |
| | | |
- | Чему же равно выражение[[Image:14-06-144.jpg]] при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а<sup>2</sup>. Таким числом будет - а. Смотрите:<br>1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число); <br>2)(-а)<sup>2</sup>=а<sup>2</sup>. <br>Итак, | + | Чему же равно выражение[[Image:14-06-144.jpg]] при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а<sup>2</sup>. Таким числом будет - а. Смотрите: |
| | | |
- | [[Image:14-06-146.jpg]]<br><br>Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:
| + | 1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число); |
| | | |
- | [[Image:14-06-147.jpg]]<br><br>Значит,[[Image:14-06-144.jpg]] и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:
| + | 2)(-а)<sup>2</sup>=а<sup>2</sup>. |
| | | |
- | [[Image:14-06-148.jpg]]<br><br>В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.
| + | Итак, |
| | | |
- | '''Пример 4'''. Упростить выражение [[Image:14-06-149.jpg]] , если: <br>а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0. <br>Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество
| + | [[Image:14-06-146.jpg|180px|Доказательство]]<br><br>Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а: |
| | | |
- | [[Image:14-06-150.jpg]]<br>а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем [[Image:14-06-151.jpg]] = а - 1. <br>б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем [[Image:14-06-153.jpg]] = 1 - а. в | + | [[Image:14-06-147.jpg|180px|Доказательство]]<br><br>Значит,[[Image:14-06-144.jpg]] и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество: |
| | | |
- | [[Image:14-06-152.jpg]] | + | [[Image:14-06-148.jpg|180px|Тождество]]<br><br>В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение. |
| + | |
| + | '''Пример 4'''. Упростить выражение [[Image:14-06-149.jpg|Выражение]] , если: <br>а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0. <br>Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество |
| + | |
| + | [[Image:14-06-150.jpg|180px|Тождество]]<br>а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем [[Image:14-06-151.jpg|120px|Тождество]] = а - 1. <br>б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем [[Image:14-06-153.jpg|120px|Тождество]] = 1 - а. в |
| + | |
| + | [[Image:14-06-152.jpg|480px|Пример]] |
| + | |
| + | |
| + | ''Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. '' |
| | | |
| <br> | | <br> |
Строка 76: |
Строка 93: |
| | | |
| '''<u>Содержание урока</u>''' | | '''<u>Содержание урока</u>''' |
- | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока ''' | + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока ''' |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии |
| | | |
| '''<u>Практика</u>''' | | '''<u>Практика</u>''' |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников |
- |
| + | |
| '''<u>Иллюстрации</u>''' | | '''<u>Иллюстрации</u>''' |
- | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа ''' | + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа ''' |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты |
| | | |
| '''<u>Дополнения</u>''' | | '''<u>Дополнения</u>''' |
- | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты''' | + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты''' |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие |
| '''<u></u>''' | | '''<u></u>''' |
| <u>Совершенствование учебников и уроков | | <u>Совершенствование учебников и уроков |
- | </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике''' | + | </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике''' |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми |
- |
| + | |
| '''<u>Только для учителей</u>''' | | '''<u>Только для учителей</u>''' |
- | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки ''' | + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки ''' |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы |
- | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения |
| | | |
| | | |
Версия 14:59, 8 октября 2012
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Модуль действительного числа
' 'Модуль действительного числа
1.Модуль действительного числа
и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.
Короче это записывают так:
![Модуль действительного числа](/images/f/f3/14-06-125.jpg)
Например,
![примеры](/images/c/c4/14-06-126.jpg)
На практике используют различные свойства модулей, например:
1. |а| 0. 2.|аb| =|a| |b|.
![Примеры](/images/b/b2/14-06-127.jpg)
2. Геометрический смысл модуля действительного числа
Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.
![Задание](/images/2/29/14-06-129.jpg)
Все три случая охватываются одной формулой:
![Формула](/images/b/b4/14-06-130.jpg)
Пример 1. Решить уравнения:
а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0. Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.
б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.
![Задание](/images/1/17/14-06-131.jpg)
в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.
г) Для уравнения |х - | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - = 0, т. е. х = .
Пример 2. Решить уравнения:
а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.
Р е ш е н и е.
а) Имеем|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|.| = 2|x -3|
Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду
2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.
Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.
б) Имеем
![Задание](/images/9/99/14-06-132.jpg)
Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду
![Задание](/images/0/07/14-06-133.jpg)
Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
Значит, они удалены от точки , на расстояние, равное 2.
![модель](/images/d/d6/14-06-138.jpg)
в) Для уравнения | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.
Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.
Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).
![Графики](/images/2/21/14-06-139.jpg)
4. Тождество ![Тождество](/images/e/ed/14-06-140.jpg) Мы знаем, что если .А как быть, если а < 0? Написать у в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что , а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.
Чему же равно выражение при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а2. Таким числом будет - а. Смотрите:
1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число);
2)(-а)2=а2.
Итак,
![Доказательство](/images/8/83/14-06-146.jpg)
Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:
![Доказательство](/images/1/10/14-06-147.jpg)
Значит, и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:
![Тождество](/images/0/02/14-06-148.jpg)
В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.
Пример 4. Упростить выражение , если: а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0. Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество
![Тождество](/images/f/fc/14-06-150.jpg) а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем = а - 1. б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем = 1 - а. в
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.
Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|