Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций

Системы двух линейных уравнений с двумя паременными как математические модели реальных ситуаций

Собственно говоря, ничего особенно нового вы в этом параграфе не узнаете. Ведь вам уже известно, что реальная ситуация может быть описана на математическом языке в виде математической модели, представляющей собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Так было в § 28 в ситуации с садоводами Ивановым и Петровым. Так было и в примере 2 из § 35. Поэтому теоретический разговор, соответствующий названию параграфа, можно считать законченным. А вот с практической точки зрения обсуждение новых ситуаций полезно. Этим и займемся.

П р и м е р. В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х — число девочек, у — число мальчиков в седьмом классе.
В понедельник было (х - 1) девочек, (у - 5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т. е.
х - 1 = 2 (y - 5).
Во вторник было (х - 9) девочек, (у - 1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т. е.

y - 1 = 1,5( x - 9)
Математическая модель ситуации составлена:

Второй этап. Работа с составленной моделью.
Сначала упростим каждое уравнение системы.
Для первого уравнения имеем:

х - 1 = 2(у - 5);
х - 1 = 2у - 10;
х - 2у + 9 = 0.
Для второго уравнения имеем:

y -1 = 1,5( x - 9)

2(y - 1) =3( x - 9)
(обе части уравнения умножили на 2); далее,
2y-2 = 3x-27;
Зx- 2у - 25 = 0.
Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

(скорректированная математическая модель рассматриваемой ситуации).
В чисто учебных целях решим эту систему двумя способами.
Первый способ. Применим метод подстановки. Из первого уравнения системы находим: х = 2у - 9. Подставим этот результат вместо х во второе уравнение системы. Получим:

3(2y-9)-2y-25 = 0;
6у - 27 - 2у - 25 = 0;
4y = 52;
У = 13.
Так как х = 2у - 9, то х = 2 • 13 - 9 = 17.
Итак, х= 17,у = 13 — решение системы.

Второй способ. Применим метод алгебраического сложения:

Подставим найденное значение х в первое уравнение системы, т.е. в уравнение х - 2у + 9 = 0:
17-2у + 9 = 0;
2у=26;   у =13.
Итак, x = 17, y = 13 — решение системы.

Второй этап мы завершили (решили полученную систему, причем даже двумя способами).

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х = 17,у — 13, т.е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в классе 17 + 13 = 30 учеников.

Ответ: 30 учеников.

Замечание. Вы, конечно, понимаете, что для решения конкретной системы уравнений надо выбирать тот способ, который представляется для данного случая наиболее уместным, или тот, который вам больше нравится (т.е. вы можете использовать графический метод, или метод подстановки, или метод алгебраического сложения — это ваше дело).

Составленную в рассмотренной задаче систему мы решили двумя способами, чтобы повторить методы подстановки и алгебраического сложения и сопоставить эти методы друг с другом.

_{Рефераты, домашняя работа по математике скачать, учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.