KNOWLEDGE HYPERMARKET


Модуль действительного числа
 
(4 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Модуль действительного числа</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Модуль действительного числа, модуля, модели, тождество, отрицательное число, графика функции, координатной прямой, уравнения, корня</metakeywords>  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Модуль действительного числа'''  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Модуль действительного числа'''  
-
'''<br>'''  
+
'''Модуль действительного числа'''<br>
-
<br>  
+
<br><u>1.'''Модуль действительного числа'''</u>  
-
'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА '''<br>
+
и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием '''[[Задачі до теми «Модуль числа»|модуля]]''' (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.
-
<br>1.'''Модуль действительного числа'''  
+
'''''Определение'''''. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.
-
и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо <br>ввести понятие модуля для любого действительного числа.
+
Короче это записывают так:
-
'''''Определение'''''. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х. <br>Короче это записывают так:
+
[[Image:14-06-125.jpg|320px|Модуль действительного числа]]<br><br>Например,
-
[[Image:14-06-125.jpg]]<br><br>Например,  
+
[[Image:14-06-126.jpg|420px|примеры]]<br><br>На практике используют различные свойства модулей, например:
-
[[Image:14-06-126.jpg]]<br><br>На практике используют различные свойства модулей, например: <br>1. |а|[[Image:14-06-120.jpg]] 0. <br>2.|аb| =|a| |b|. <br>[[Image:14-06-127.jpg]]<br><br>'''2. Геометрический смысл модуля действительного числа'''  
+
1. |а|[[Image:14-06-120.jpg]] 0. <br>2.|аb| =|a| |b|. <br>[[Image:14-06-127.jpg|120px|Примеры]]<br><br><u>'''2. Геометрический смысл модуля действительного числа'''</u>
-
Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через [[Image:14-06-128.jpg]] (a, b) расстояние между точками а и b ([[Image:14-06-128.jpg]] — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если <br>b &gt; а (рис. 101), оно равно а - b, если а &gt; b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b. <br>  
+
Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической '''[[Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций |модели]]''' — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через [[Image:14-06-128.jpg]] (a, b) расстояние между точками а и b ([[Image:14-06-128.jpg]] — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b &gt; а (рис. 101), оно равно а - b, если а &gt; b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b. <br>  
-
[[Image:14-06-129.jpg]]<br><br>Все три случая охватываются одной формулой: <br>  
+
[[Image:14-06-129.jpg|480px|Задание]]<br><br>Все три случая охватываются одной формулой: <br>  
-
[[Image:14-06-130.jpg]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить уравнения: <br>а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - [[Image:14-06-118.jpg]] I = 0. <br>Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет <br>два корня: - 1 и 5.
+
[[Image:14-06-130.jpg|180px|Формула]]<br>'''<br>Пример 1.''' Решить '''[[Розв'язування рівнянь. Презентація уроку|уравнения]]''':  
-
б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее [[Image:14-06-128.jpg]] (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2. <br>
+
а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - [[Image:14-06-118.jpg]] I = 0. <br>Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.  
-
[[Image:14-06-131.jpg]]<br><br>в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'. <br>г) Для уравнения
+
б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее [[Image:14-06-128.jpg]] (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два '''[[Понятие корня n-й степени из действительного числа|корня]]''': -5,2 и - 1,2. <br>  
-
<br>|х - [[Image:14-06-118.jpg]]| = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - [[Image:14-06-118.jpg]] = 0, т. е. х = [[Image:14-06-118.jpg]] .  
+
[[Image:14-06-131.jpg|480px|Задание]]<br><br>в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.  
-
'''Пример 2.''' Решить уравнения: <br>а) |- 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.  
+
г) Для уравнения<br>|х - [[Image:14-06-118.jpg]]| = 0 можно обойтись без геометрической иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - [[Image:14-06-118.jpg]] = 0, т. е. х = [[Image:14-06-118.jpg]] .  
-
Р е ш е н и е. а) Имеем
+
'''Пример 2.''' Решить уравнения:
-
|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|'''.'''| = 2|x -3|<br>Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду <br>2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4. <br>Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 <br>(рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7. <br>б) Имеем
+
а) |- 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.  
-
[[Image:14-06-132.jpg]]<br><br>Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду
+
Р е ш е н и е.  
-
[[Image:14-06-133.jpg]]<br><br>Переведем аналитическую модель [[Image:14-06-134.jpg]] на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
+
а) Имеем|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|'''.'''| = 2|x -3|
-
[[Image:14-06-135.jpg]]
+
Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду
-
Значит, они удалены от точки [[Image:14-06-136.jpg]] , т.е. от точки [[Image:14-06-137.jpg]], на расстояние, равное 2.  
+
2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.  
 +
Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на '''[[Порівняння натуральних чисел за допомогою координатного променя. Презентація уроку|координатной прямой]]''' такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-128.jpg]] (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.
 +
б) Имеем
-
[[Image:14-06-138.jpg]]<br><br>в) Для уравнения&nbsp; | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.
+
[[Image:14-06-132.jpg|480px|Задание]]<br><br>Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду
 +
 
 +
[[Image:14-06-133.jpg|320px|Задание]]<br><br>Переведем аналитическую модель [[Image:14-06-134.jpg|модель]] на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию [[Image:14-06-135.jpg]]
 +
 
 +
Значит, они удалены от точки [[Image:14-06-145.jpg|120px|Дроби]] , на расстояние, равное 2.<br>
 +
 
 +
[[Image:14-06-138.jpg|480px|модель]]<br><br>в) Для уравнения&nbsp; | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.  
'''Пример 3.''' Построить график функции у = |х + 2 |.  
'''Пример 3.''' Построить график функции у = |х + 2 |.  
-
Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).  
+
Решение. График этой функции получается из '''[[Функції, їх графіки та властивості|графика функции]]''' у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).  
-
[[Image:14-06-139.jpg]]<br><br>4. Тождество [[Image:14-06-140.jpg]]<br>Мы знаем, что если [[Image:14-06-141.jpg]].А как быть, если а &lt; 0? Написать у [[Image:14-06-142.jpg]] в этом случае нельзя, ведь а &lt; 0 и получится, что [[Image:14-06-143.jpg]], а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.  
+
[[Image:14-06-139.jpg|480px|Графики]]<br><br>4. Тождество [[Image:14-06-140.jpg|Тождество ]]<br>Мы знаем, что если [[Image:14-06-141.jpg|Доказательство]].А как быть, если а &lt; 0? Написать у [[Image:14-06-142.jpg|Доказательство]] в этом случае нельзя, ведь а &lt; 0 и получится, что [[Image:14-06-143.jpg|Доказательство]], а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.  
-
Чему же равно выражение[[Image:14-06-144.jpg]] при а &lt; 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а<sup>2</sup>. Таким числом будет - а. Смотрите:  
+
Чему же равно выражение[[Image:14-06-144.jpg]] при а &lt; 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а<sup>2</sup>. Таким числом будет - а. Смотрите:
-
<br>1) - а &gt; 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, <br>значит, - а — положительное число); <br>2)(-аJ=а2. <br>Итак, <br>Г а, если а &gt; 0; <br>[-а, если а &lt; 0. <br>Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в пра- <br>вой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяет- <br>ся модуль числа а: <br>а, если а &gt; 0; <br>[-а, еслиа&lt;0. <br>а2 = <br>а = <br>I—2 <br>Значит, у а и | а \ — одно и то же. Тем самым <br>мы доказали важное тождество: <br>а <br>В роли а может выступать любое числовое или алгебраиче- <br>ское выражение. <br>Пример 4. Упростить выражение ^/(а-1J , если: <br>а) а - 1 &gt; 0; б) а - 1 &lt; 0. <br>Решение. Как мы только что установили, справедливо <br>тождество <br>а) Если а - 1 &gt; 0, то | а - 11 = а - 1. Таким образом, в этом <br>случае получаем ^/(а-1J = а - 1. <br>б) Если а - 1 &lt;0, то|а - 11 = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом <br>случае получаем y(a-lJ = 1 - а. в <br>Пример 5. Упростить выражение ^ • у]32а2 , если a &lt; 0. <br>Решение. Имеем <br>\.Jtf _ ф ¦ \а\ _ 2^2-И <br>^W32a - 2а 2а а " <br>Так как по условию а&lt;0, то |а| = -а. В результате по- <br>лучаем <br>2/2 -lal 2i2-(-a) <br>¦-2^/2. <br>Ответ: -2^2 . <br>Пример 6. Вычислить <br>Решение. Имеем <br>JL/3-2J <br>- 1 <br>Осталось, как обычно говорят, «раскрыть знаки модулей». <br>Воспользуемся тем, что 1 &lt; ,/3 &lt; 2. Значит, ,/3 - 2 &lt; 0, а^/З - 1 &gt; 0. <br>- 11 = &gt;/3 - 1. <br>Но тогда <br>В итоге получаем <br>-(&gt;/3 -2) = 2-^, <br>- 1 = <br>Ответ: 1. <br><br><br><br><br><br><br><br>
+
1) - а &gt; 0 (еще раз напомним, что а — '''[[Презентація уроку на тему «Додатні та від'ємні числа. Число 0»|отрицательное число]]''', значит, - а — положительное число);  
 +
 
 +
2)(-а)<sup>2</sup>=а<sup>2</sup>.
 +
 
 +
Итак,
 +
 
 +
[[Image:14-06-146.jpg|180px|Доказательство]]<br><br>Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:  
 +
 
 +
[[Image:14-06-147.jpg|180px|Доказательство]]<br><br>Значит,[[Image:14-06-144.jpg]] и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное '''[[Тождества|тождество]]''':  
 +
 
 +
[[Image:14-06-148.jpg|180px|Тождество]]<br><br>В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.  
 +
 
 +
'''Пример 4'''. Упростить выражение [[Image:14-06-149.jpg|Выражение]] , если: <br>а) а - 1 &gt; 0; б) а - 1 &lt; 0. <br>Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество  
 +
 
 +
[[Image:14-06-150.jpg|180px|Тождество]]<br>а) Если а - 1 &gt; 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем [[Image:14-06-151.jpg|120px|Тождество]] = а - 1. <br>б) Если а - 1 &lt;0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем [[Image:14-06-153.jpg|120px|Тождество]] = 1 - а. в  
 +
 
 +
[[Image:14-06-152.jpg|480px|Пример]]
 +
 
 +
 
 +
''Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''
<br>  
<br>  
Строка 66: Строка 93:
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 15:47, 8 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Модуль действительного числа

Модуль действительного числа


1.Модуль действительного числа

и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.

Короче это записывают так:

Модуль действительного числа

Например,

примеры

На практике используют различные свойства модулей, например:

1. |а|14-06-120.jpg 0.
2.|аb| =|a| |b|.
Примеры

2. Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через 14-06-128.jpg (a, b) расстояние между точками а и b (14-06-128.jpg — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.

Задание

Все три случая охватываются одной формулой:

Формула

Пример 1.
Решить уравнения:

а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - 14-06-118.jpg I = 0.
Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию 14-06-128.jpg (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее 14-06-128.jpg (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

Задание

в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, 14-06-128.jpg (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.

г) Для уравнения
|х - 14-06-118.jpg| = 0 можно обойтись без геометрической иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - 14-06-118.jpg = 0, т. е. х = 14-06-118.jpg .

Пример 2. Решить уравнения:

а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Р е ш е н и е.

а) Имеем|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|.| = 2|x -3|

Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду

2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.

Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию 14-06-128.jpg (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.

б) Имеем

Задание

Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду

Задание

Переведем аналитическую модель модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию 14-06-135.jpg

Значит, они удалены от точки Дроби , на расстояние, равное 2.

модель

в) Для уравнения  | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.

Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.

Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).

Графики

4. Тождество Тождество
Мы знаем, что если Доказательство.А как быть, если а < 0? Написать у Доказательство в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что Доказательство, а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

Чему же равно выражение14-06-144.jpg при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а2. Таким числом будет - а. Смотрите:

1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число);

2)(-а)22.

Итак,

Доказательство

Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:

Доказательство

Значит,14-06-144.jpg и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:

Тождество

В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.

Пример 4. Упростить выражение Выражение , если:
а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество

Тождество
а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем Тождество = а - 1.
б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем Тождество = 1 - а. в

Пример


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.