KNOWLEDGE HYPERMARKET


Приближенные значения действительных чисел
(Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
 
(8 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Приближенные значения действительных чисел</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Приближенные значения действительных чисел, уравнения, координатами, десятичными дробями, числа, цифра, координатной прямой</metakeywords>  
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Приближенные значения действительных чисел'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Приближенные значения действительных чисел'''<br>
<br>  
<br>  
 +
'''Приближенные значения действительных чисел'''<br><br>И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах '''[[Розв'язування рівнянь. Презентація уроку|уравнения]]''' имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.
 +
Рассмотрим два уравнения: [[Image:14-06-154.jpg]] = 2 - х и [[Image:14-06-154.jpg]] = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =[[Image:14-06-154.jpg]] и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций [[Image:14-06-154.jpg]]— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» '''[[Координатная прямая|координатами]]'''. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:[[Image:14-06-155.jpg]]<br>
-
'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ '''<br><br>И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.  
+
[[Image:14-06-156.jpg|480px|Графики]]<br>Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными '''[[Задачі до уроку «Порівняння десяткових дробів.»|десятичными дробями]]''' неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа [[Image:14-06-157.jpg]] пользуются приближенным равенством [[Image:14-06-158.jpg]]3,141 или [[Image:14-06-158.jpg]] 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, [[Image:14-06-158.jpg]]3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;[[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14, по избытку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,15.  
-
Рассмотрим два уравнения: [[Image:14-06-154.jpg]] = 2 - х и [[Image:14-06-154.jpg]] = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =[[Image:14-06-154.jpg]] и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций [[Image:14-06-154.jpg]]— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:[[Image:14-06-155.jpg]]<br>
+
Знак приближенного равенства&nbsp;» вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.  
-
<br>
+
'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:
-
[[Image:14-06-156.jpg]]<br>
+
[[Image:14-06-159.jpg|180px|Пример]]  
-
<br>Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа [[Image:14-06-157.jpg]] пользуются приближенным равенством [[Image:14-06-158.jpg]]3,141 или [[Image:14-06-158.jpg]] 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, <br>[[Image:14-06-158.jpg]]3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;[[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,14, по избытку [[Image:14-06-158.jpg]] 3,15. <br>Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.
+
Решение,  
-
'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,  
+
а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-164.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-164.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением '''[[Обозначение натуральных чисел|натуральные числа]]'''.
-
а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-161.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]]4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем — = 0,31818... (см. § 26). Таким образом, ^- « <br>2,2, 22 <br>« 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это | х - а |. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п « 3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J&amp; = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « <br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °&gt;319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ &lt; h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>
+
'''''Определение.'''''Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это | х - а |. <br>Например, погрешность приближенного равенства [[Image:14-06-165.jpg]] выражается как [[Image:14-06-166.jpg]] или соответственно как [[Image:14-06-167.jpg]],<br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим правилом:  
-
<br>
+
[[Image:14-06-168.jpg|480px|Правило округления]]<br><br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей.
-
<sub>Сборник конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]</sub>  
+
1)&nbsp;[[Image:14-06-169.jpg]] = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]]3,142; здесь первая отбрасываемая '''[[Ілюстрації: Лічба предметів. Порівняння предметів за величиною. Підготовчі вправи до написання цифр.|цифра]]''' равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.
 +
 
 +
С точностью до 0,0001 имеем [[Image:14-06-158.jpg]] 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: [[Image:14-06-158.jpg]]&nbsp;3,14.
 +
 
 +
2)[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 (приближение по избытку).<br>3) 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]]4,24 (приближение по избытку). <br>4) [[Image:14-06-162.jpg]] = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем [[Image:14-06-162.jpg]] [[Image:14-06-163.jpg]]&nbsp;0,318 (приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент '''[[Порівняння натуральних чисел за допомогою координатного променя. Презентація уроку|координатной прямой]]''' (рис. 114).
 +
 
 +
[[Image:14-06-170.jpg|240px|Пример]]<br>
 +
 
 +
Точка [[Image:14-06-162.jpg]] принадлежит отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния точки [[Image:14-06-162.jpg]] от концов отрезка равны соответственно [[Image:14-06-171.jpg|180px|Решение]] отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, [[Image:14-06-173.jpg|140px|Решение]] и [[Image:14-06-174.jpg|160px|Решение]]<br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа [[Image:14-06-162.jpg]] по недостатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001.
 +
 
 +
До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использовании терминологии.
 +
 
 +
Если а — приближенное значение числа х и [[Image:14-06-175.jpg|80px|Задание]], тo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с точностью до h.
 +
 
 +
Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на [http://xvatit.com/it '''экране''']). <br><br>
 +
 
 +
''Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''
<br>  
<br>  
 +
 +
<sub>Сборник конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]]</sub><br>
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 15:58, 8 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Приближенные значения действительных чисел


Приближенные значения действительных чисел

И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.

Рассмотрим два уравнения: 14-06-154.jpg = 2 - х и 14-06-154.jpg = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =14-06-154.jpg и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций 14-06-154.jpg— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:14-06-155.jpg

Графики
Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа 14-06-157.jpg пользуются приближенным равенством 14-06-158.jpg3,141 или 14-06-158.jpg 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, 14-06-158.jpg3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;14-06-158.jpg 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку 14-06-158.jpg 3,14, по избытку 14-06-158.jpg 3,15.

Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.

Пример 1. Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:

Пример

Решение,

а) Мы знаем, что 14-06-160.jpg = 2,236... (см. § 27), следовательно, 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
б) 2 +14-06-160.jpg = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + 14-06-160.jpg14-06-163.jpg 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + 14-06-160.jpg14-06-163.jpg 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
в) Имеем 14-06-164.jpg 14-06-163.jpg 0,31818... (см. § 26). Таким образом, 14-06-164.jpg 14-06-163.jpg 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 14-06-164.jpg 14-06-163.jpg 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением натуральные числа.

Определение.Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность приближения — это | х - а |.
Например, погрешность приближенного равенства 14-06-165.jpg выражается как 14-06-166.jpg или соответственно как 14-06-167.jpg,
Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел пользуются следующим правилом:

Правило округления

Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей.

1) 14-06-169.jpg = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем 14-06-158.jpg3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.

С точностью до 0,0001 имеем 14-06-158.jpg 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: 14-06-158.jpg 3,14.

2)14-06-160.jpg = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,24 (приближение по избытку).
3) 2 + 14-06-160.jpg = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg4,24 (приближение по избытку).
4) 14-06-162.jpg = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем 14-06-162.jpg 14-06-163.jpg 0,318 (приближение по недостатку).
Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупненный фрагмент координатной прямой (рис. 114).

Пример

Точка 14-06-162.jpg принадлежит отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния точки 14-06-162.jpg от концов отрезка равны соответственно Решение отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, Решение и Решение
Итак, в обоих случаях (и для приближения числа 14-06-162.jpg по недостатку, и для приближения его по избытку) погрешность не превосходит 0,001.

До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использовании терминологии.

Если а — приближенное значение числа х и Задание, тo говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что число х равно числу а с точностью до h.

Почему же важно уметь находить приближенные значения чисел? Дело в том, что практически невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями и использовать их для измерения величин. На практике во многих случаях вместо точных значений берут приближения с заранее заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа (за редким исключением, когда выводимое число представляет собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране).

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Сборник конспектов уроков по математике скачать, календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам онлайн

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.