KNOWLEDGE HYPERMARKET


Степень с отрицательным целым показателем
(Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
 
(1 промежуточная версия не показана)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Степень с отрицательным целым показателем</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Степень с отрицательным целым показателем, степени, математического языка, умножении, формулу, тождества, числа</metakeywords>  
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Степень с отрицательным целым показателем'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика:Степень с отрицательным целым показателем'''<br>
<br>  
<br>  
 +
'''Степень с отрицательным целым показателем'''<br>
 +
<br>Вы умеете вычислять значение '''[[Свойства степени с натуральным показателем|степени]]''' с любым натуральным показателем. Например,
-
'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ '''<br>
+
0,2х = 0,2; З<sup>2</sup> = 3-3 = 9; 4<sup>3</sup> = 4•4•4 = 64; I<sup>4</sup> = 1•1 • 1•1 = 1;
-
<br>Вы умеете вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например,
+
(-2)<sup>5</sup> = (-2)•(-2)•(-2)•(-2)•(-2) = -32;
-
0,2х = 0,2; З<sup>2</sup> = 3-3 = 9; 4<sup>3</sup> = 4•4•4 = 64; I<sup>4</sup> = 1•1 • 1•1 = 1; <br>(-2)<sup>5</sup> = (-2)•(-2)•(-2)•(-2)•(-2) = -32; <br>0<sup>6</sup> = 0•0•0•0•0•0 = 0 и т. д. <br>Но математики на этом не остановились. <br>Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с понятием степени с нулевым показателем: если [[Image:14-06-176.jpg]], то а 0 = 1. <br>Например, 5,7° = 1; (- 3)° = 1 и т. д. <br>Постепенно продвигаясь в изучении математического языка, мы с вами поймем, что означают в математике символы [[Image:14-06-177.jpg]] и т. д. Частично это <br>мы сделаем уже в настоящем параграфе, а частично — в курсе алгебры 11-го класса. <br>Зададим вопрос: если уж вводить символ 2<sup>-3</sup>, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались; в частности, <br>чтобы выполнялось следующее равенство:
+
0<sup>6</sup> = 0•0•0•0•0•0 = 0 и т. д.  
-
2<sup>-з</sup>•2<sup>з</sup> = 2<sup>о</sup> (подробнее: 2<sup>-з</sup>•2<sup>з</sup> = 2<sup>о</sup> = 2<sup>-3 + 3</sup> - 2°). <br>Но 2° = 1, а тогда из равенства 2<sup>-з</sup>•2<sup>з</sup> = = 1 получаем, что [[Image:14-06-178.jpg]] . Значит, появились основания определить [[Image:14-06-179.jpg]] . <br>Подобные рассуждения и позволили ввести следующее определение. <br>Определение. Если n — натуральное число и [[Image:14-06-176.jpg]], то под а <sup>-n</sup> понимают [[Image:14-06-180.jpg]]:
+
Но [http://xvatit.com/vuzi/ '''математики'''] на этом не остановились.  
-
[[Image:14-06-181.jpg]]<br><br>Например, 3 = з2 ~ 9' 71 7 <br>Естественно, что записанную выше формулу при необходи- <br>мости используют справа налево, например: <br>1 _ с-1 — = — = S� <br>5 = 5 ' 81 ~ З4 <br>Отметим одно важное тождество, которое часто используется <br>на практике: <br>Ъ \" <br>В частности, <br>\-з <br>B \~ <br>з; " 16 ' <br>Решение. Имеем: <br>1) 2 - 22 4 ' <br>/ 2 \� <br>2&gt;E) " <br>27 <br>5.31. <br>ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА <br>3) <br>1 <br>16' <br>; 4 8 16 16 ' <br>Ответ: 3— . <br>16 <br>Пример 2. Доказать, что: <br>а) а� аГъ = а"8; б) а4 : а� = а7; в) (а�)� = а6. <br>Р е ш е н и е. а) а~3 • а~ъ = — • — = -,—г = Л <br>а а а а <br>Рассмотрим тождества, доказанные в примере 2, повнима- <br>тельнее. Первое означает, что <br>(п/&gt;ц умножении степеней с одинаковыми основаниями показа- <br>тели складываются). <br>Второе тождество означает, что <br>а4:а-3=а4-&lt;-3) <br>(при делении степеней с одинаковыми основаниями из показа- <br>теля делимого надо вычесть показатель делителя). <br>Третье тождество означает, что <br>(а-2Г3=а(-2&gt;-(-3&gt; <br>(при возведении степени в степень показатели перемножаются). <br>Как видите, те свойства степеней, к кото- <br>рым вы привыкли, имея дело с натуральными <br>показателями, сохраняются и для отрицатель- <br>ных целых показателей. <br>Вообще, справедливы следующие свойства (мы считаем, <br>что а ф 0, Ъ Ф 0, s vi t — произвольные целые числа): <br>3. (as){ = ast. <br>4. (ab)s = as • bs <br>Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2 <br>ограничения s &gt; t (как это было тогда, когда мы оперировали <br>только с натуральными показателями степени). Например, <br>верно как равенство а1 : а2 = а1 ~2, так и равенство а2 : а7 — а2'7. <br>Частичные обоснования указанных свойств были сделаны <br>выше, этим и ограничимся. <br><br><br><br><br>
+
Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с понятием степени с нулевым показателем: если [[Image:14-06-176.jpg]], то а 0 = 1.  
-
<br>
+
Например, 5,7° = 1; (- 3)° = 1 и т. д.
 +
 
 +
Постепенно продвигаясь в изучении '''[[Что такое математический язык|математического языка]]''', мы с вами поймем, что означают в математике символы [[Image:14-06-177.jpg]] и т. д. Частично это мы сделаем уже в настоящем параграфе, а частично — в курсе алгебры 11-го класса.
 +
 
 +
Зададим вопрос: если уж вводить символ 2<sup>-3</sup>, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при '''[[Множення і ділення раціональних дробів.|умножении]]''' степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались; в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:
 +
 
 +
2<sup>-з</sup>•2<sup>з</sup> = 2<sup>о</sup> (подробнее: 2<sup>-з</sup>•2<sup>з</sup> = 2<sup>о</sup> = 2<sup>-3 + 3</sup> - 2°). <br>Но 2° = 1, а тогда из равенства 2<sup>-з</sup>•2<sup>з</sup> = = 1 получаем, что [[Image:14-06-178.jpg|80px|Равенства]] . Значит, появились основания определить [[Image:14-06-179.jpg|80px|Равенства]] . <br>Подобные рассуждения и позволили ввести следующее определение. <br>'''Определение'''. Если n — натуральное число и [[Image:14-06-176.jpg]], то под а <sup>-n</sup> понимают [[Image:14-06-180.jpg]]:
 +
 
 +
[[Image:14-06-181.jpg|180px|Определение]]<br><br>Например, [[Image:14-06-182.jpg|240px|Равенства]] и т. д.<br>Естественно, что записанную выше '''[[Конспект уроку на тему «Формула коренів квадратного рівняння»|формулу]]''' при необходимости используют справа налево, например: <br>
 +
 
 +
[[Image:14-06-183.jpg|240px|Равенства]]<br><br>Отметим одно важное тождество, которое часто используется на практике: <br>
 +
 
 +
[[Image:14-06-184.jpg|240px|Равенства]]<br>'''Пример 1. '''Вычислить'''[[Image:14-06-185.jpg|120px|Задание]]<br>'''Решение. Имеем:
 +
 
 +
[[Image:14-06-186.jpg|180px|Решение]]
 +
 
 +
[[Image:14-06-187.jpg|180px|Решение]]<br><br>'''Пример 2.''' Доказать, что:
 +
 
 +
[[Image:14-06-188.jpg|420px|Решение]]<br><br>Рассмотрим '''[[Тождества|тождества]]''', доказанные в примере 2, повнимательнее. Первое означает, чтоa<sup>-3</sup>•a<sup>-5</sup> = a<sup>-3+-5</sup>
 +
 
 +
'''''(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются)'''''.
 +
 
 +
Второе тождество означает, что а<sup>4</sup>:а<sup>-3</sup>=а<sup>4-(-3) </sup>
 +
 
 +
'''''(при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого надо вычесть показатель делителя).'''''
 +
 
 +
Третье тождество означает, что (а<sup>-2</sup>)<sup>-3</sup>=а<sup>(-2)•(-3</sup>)
 +
 
 +
'''''(при возведении степени в степень показатели перемножаются).'''''
 +
 
 +
Как видите, те свойства степеней, к которым вы привыкли, имея дело с натуральными показателями, сохраняются и для отрицательных целых показателей.
 +
 
 +
Вообще, справедливы следующие свойства (мы считаем, что [[Image:14-06-189.jpg|120px|Числа]] — произвольные целые '''[[Ілюстрації: Лічба предметів. Співвіднесення цифри і числа.|числа]]'''):
 +
 
 +
1.a<sup>s</sup>•a<sup>t</sup> = a<sup>s+t</sup><br>
 +
 
 +
2.a<sup>s</sup>''':'''a<sup>t</sup> = a<sup>s-t</sup><br>3. (a<sup>s</sup>)<sup>t</sup> = a<sup>st</sup>. <br>4. (ab)s = a<sup>s</sup> • b<sup>s</sup>
 +
 
 +
<br>Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2 ограничения s &gt; t (как это было тогда, когда мы оперировали только с натуральными показателями степени). Например, верно как равенство а<sup>7</sup>&nbsp;: а<sup>2</sup> = а<sup>7 -2</sup>, так и равенство а<sup>2</sup>&nbsp;: а<sup>7</sup> = а<sup>2-'7</sup>.
 +
 
 +
Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше, этим и ограничимся.
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
''Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. <br>''
 +
 
 +
<br>  
<sub>Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 8 класса [[Математика|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков </sub>  
<sub>Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 8 класса [[Математика|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков </sub>  
Строка 24: Строка 72:
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 16:07, 8 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Степень с отрицательным целым показателем


Степень с отрицательным целым показателем


Вы умеете вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например,

0,2х = 0,2; З2 = 3-3 = 9; 43 = 4•4•4 = 64; I4 = 1•1 • 1•1 = 1;

(-2)5 = (-2)•(-2)•(-2)•(-2)•(-2) = -32;

06 = 0•0•0•0•0•0 = 0 и т. д.

Но математики на этом не остановились.

Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с понятием степени с нулевым показателем: если 14-06-176.jpg, то а 0 = 1.

Например, 5,7° = 1; (- 3)° = 1 и т. д.

Постепенно продвигаясь в изучении математического языка, мы с вами поймем, что означают в математике символы 14-06-177.jpg и т. д. Частично это мы сделаем уже в настоящем параграфе, а частично — в курсе алгебры 11-го класса.

Зададим вопрос: если уж вводить символ 2-3, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались; в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:

2•2з = 2о (подробнее: 2•2з = 2о = 2-3 + 3 - 2°).
Но 2° = 1, а тогда из равенства 2•2з = = 1 получаем, что Равенства . Значит, появились основания определить Равенства .
Подобные рассуждения и позволили ввести следующее определение.
Определение. Если n — натуральное число и 14-06-176.jpg, то под а -n понимают 14-06-180.jpg:

Определение

Например, Равенства и т. д.
Естественно, что записанную выше формулу при необходимости используют справа налево, например:

Равенства

Отметим одно важное тождество, которое часто используется на практике:

Равенства
Пример 1. ВычислитьЗадание
Решение. Имеем:

Решение

Решение

Пример 2. Доказать, что:

Решение

Рассмотрим тождества, доказанные в примере 2, повнимательнее. Первое означает, чтоa-3•a-5 = a-3+-5

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются).

Второе тождество означает, что а4-34-(-3)

(при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого надо вычесть показатель делителя).

Третье тождество означает, что (а-2)-3(-2)•(-3)

(при возведении степени в степень показатели перемножаются).

Как видите, те свойства степеней, к которым вы привыкли, имея дело с натуральными показателями, сохраняются и для отрицательных целых показателей.

Вообще, справедливы следующие свойства (мы считаем, что Числа — произвольные целые числа):

1.as•at = as+t

2.as:at = as-t
3. (as)t = ast.
4. (ab)s = as • bs


Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2 ограничения s > t (как это было тогда, когда мы оперировали только с натуральными показателями степени). Например, верно как равенство а7 : а2 = а7 -2, так и равенство а2 : а7 = а2-'7.

Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше, этим и ограничимся.


Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.


Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 8 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.