KNOWLEDGE HYPERMARKET


Свойства степени с натуральным показателем

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Свойства степени с натуральным показателем



                    Свойства степени с натуральным показателем


Большая часть математических утверждений проходит в своем становлении три этапа.

На первом этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает одну и ту же закономерность.
На втором этапе он пытается сформулировать  подмеченную закономерность в общем виде, т.е. предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех других аналогичных случаях.
На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулированная (гипотетически) в общем виде, на самом деле верна.

Доказать какое-либо утверждение — это значит объяснить, почему оно верно (объяснить убедительно, а не так: «это верно потому, что это верно»). При доказательстве можно ссылаться только на уже известные факты.

Давайте попытаемся вместе пройти все три этапа, попробуем открыть, сформулировать и доказать свойства степеней.


                                    Открытие первое


Пример 1. Вычислить: a) 23. 25; б) 31 . 34


Р е ш е н и е. а) Имеем:


Степень числа


Всего имеется 8 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, т. е. 28 , что по таблице (см. § 5) дает 256.


б) Имеем:
Степень числа

Ответ: а) 256; b) 243.


В процессе решения примера мы заметили, что


Степень числа


Наблюдается закономерность: основания перемножаемых степеней одинаковы, при этом показатели складываются. Первый этап завершен.

На второем этапе осмелимся предположить, что мы открыли общую закономерность:

an . ak = an+k


Теорема 1.


Поскольку в нашем курсе мы первый раз встретились со словом «теорема», давайте немного поговорим о том, что оно означает.

Теоремой обычно называют утверждение, спраk вежливость (истинность, верность) которого устащ навливается с помощью строгого обоснования, доказательства.

Теорема состоит из условия, т.е. из того, что дано, что имеется в наличии, и заключения — того, что нужно доказать. В теореме 1 даны произвольное число а и два натуральных числа пик — это условие. А требуется доказать, что выполняется равенство

an . ak = an+k — это заключение теоремы.

Обычно теорему формулируют так: если ... (условие), то ... (заключение). Например, теорему 1 можно (и, честно говоря, так было бы аккуратнее) сформулировать следующим образом:


Теорема

На третьем этапе надо доказать, что наше предположение верно, т. е. доказать теорему 1. Сделаем это и мы — доказательство приведено ниже. Прочитайте его. Если чувствуете в себе силы, то попытайтесь разобраться в нем (оно состоит в том, что мы трижды используем определение степени с натуральным показателем); если же нет — ограничьтесь прочтением.


Доказательство.

Доказательсво теоремы


Теорема доказана.

Итак, первое открытие у нас состоялось. Идем дальше.


                                                      Открытие второе


Пример 2. Вычислить:  a) 26 : 24; б) 38 : 35


Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим ее:


Решение примера


Ответ:a) 4; b) 27.

Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершен. На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:

an :ak = an-k, если n > k. 


Теорема 2.

Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведен после доказательства теоремы).


Доказательство. Рассмотрим произведение a n-k . ak. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1).

Сложив показатели n - k и k, получим (n - k) + к = n.
Итак, a n-k . ak   = an , а это как раз и означает, что  an: ak = an-k 

Теорема доказана.

А теперь иначе сформулируем теорему 2:

Теорема 2.

Условие теоремы: а не равно 0; n, k — натуральные числа, n >k.
Заключение теоремы: an : ak = an-k
Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше.


                                             Открытие третье


Решение примеров

Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:  (an)k = ank.  
Теорема 3.
Теорема 3.
Доказательство теоремы (третий этап мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2. Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) доказать ее.

Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.


Правила


Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов.


Решение примеров

Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная работа, давайте же и мы выделим самое главное.


Самое главное — три формулы,

Формулы

Их можно применять как справа налево, так и слева направо. Например,


Приминение формулы

Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму

24 + 23 на 27; в самом деле, посчитайте: 24 = 16;


Замечание

В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3.

Имеем:


Доказательство теоремы


Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн, видеоматериал по математике для 7 класса скачать


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений



Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.