Версия 20:15, 7 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

                                                     ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН

Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вычитать, перемножать и даже возводить в степень, обсудили. Но ведь имеется еще одна арифметическая операция — деление. Вот об этом и поговорим.
Пример 1. Опираясь на свойства арифметических действий, попытаемся выполнить деление одночленов:

Решение, а) Воспользуемся тем, что если произведение двух чисел делят на третье число, то можно разделить на это число один из множителей
и полученное частное умножить на другой множитель. (Вспомнили? Например, 10a:3 = (12:3) • 4= 4• 4 = 16
 Имеем:
10a:2 =( 10:2)• a = 5a.
б) Рассуждая, как и в примере а), получаем:

18ab: 3a =(18 :3) •(a: a)b =6•1•b =6b
в) 36a³b⁵ : 4ab² = (36 : 4)-(a³ : a)•(b⁵ : b²) = 9a^3-1 • b^5-2 = = 9a²b³.
Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дроби. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в):

г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т. е. и знак деления, и черту дроби:

Здесь все верно, но, как говорят математики, нерационально, поскольку сразу было ясно, что х3у2г : х3у2г = 1 (фактически выражение делится само на себя).
д)
Это не одночлен, значит, разделить 4x³ на 2ху нельзя (в том смысле, чтобы в частном получился одночлен).

е) И эта задача невыполнима, так как мы пока не умеем делить при одном и том же основании степень с меньшим показателем на степень с большим показателем.
Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались корректными, а два (последние) — некорректными (этот термин мы ввели в § 11).
Проанализируем теперь решенные примеры и попробуем с помощью этого анализа выяснить, когда можно разделить одночлен на одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен.

Первое наблюдение. Оба одночлена (и делимое, и делитель) должны быть записаны в стандартном виде (впрочем, об этом мы условились еще в § 10).

Второе наблюдение. В делителе не должно быть переменных, которых нет в делимом (по этой причине мы «споткнулись»

Третье наблюдение. Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причем в делимом она возводится в степень n, а в делителе — в степень k, то число k не должно быть больше числа n (поэтому мы «споткнулись» в примере 1е).

Четвертое наблюдение. Коэффициенты делимого и делителя могут быть любыми (поскольку мы умеем делить друг на друга любые числа, кроме, разумеется, деления на нуль).
Значит, если вам предложат разделить одночлен на одночлен, то сначала убедитесь, что задача корректна, т. е. проведите указанные наблюдения и
убедитесь, что все в порядке. В случае, когда задача корректна, решайте ее по образцу примера 1.

Пример 2. Упростить 48a⁴b⁵c⁶d : 36ab³c⁶.
Р е ш е н и е.

1) Оба одночлена (и делимое, и делитель) записаны в стандартном виде.

2) В делимом фигурируют переменные а, Ъ, с, d, в делителе а, Ъ, с. Лишних переменных в делителе нет.

3) В делителе нет степеней больших, чем у одноименных переменных в делимом.

Вывод: задача корректна, будем ее решать.
Имеем:

Вы чувствуете, что в § 12, как и в § 10, есть недоговоренность? А что же все-таки делать, если одночлен на одночлен не разделился? Разве мы застрахованы от такой ситуации? Поэтому математики ввели новый объект — алгебраическую дробь (вспомните, ведь и обыкновенные дроби появились
из-за того, что не любые два натуральных числа делятся друг на друга; например, 14 делится на 7, а 3 не делится на 7. Как записывается ответ во втором случае? Он записывается в виде обыкновенной дроби . Такая алгебраическая дробь встретилась нам ранее, в примере 1д) — это было выражение . И, конечно, математики научились оперировать с этими новыми объектами — алгебраическими дробями. Мы будем изучать их в курсе алгебры 8 класса.

_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 7 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.