Версия 12:01, 8 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки

                                                                  ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требоk валось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое про? изведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим  несколько примеров.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

а) 2х + 6у,     в) 4а³ + 6а²;           д) 5а⁴ - 10а³ + 15а⁸.
б) а³ + а²;      г) 12аЬ⁴ - 18а²Ь³с;

Р е ш е н и е.

а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а³ + а² = а²(а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а²). Получаем: 4а³ + 6а² = 2а² • 2а + 2а² • 3 = 2а² (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная Ь также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый
член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb⁴ - 18а²Ь³с = 6аЬ³ • 2b - 6аЬ³ • Зас = 6аb³(2b - Зас).

д) 5а⁴-10а³+15а⁸ = 5а³(а-2 + За²).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.

Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Например:

Пример 2. Разложить на множители:

-х⁴у³-2х³у² + 5х².
Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х².
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х². Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x².

Получим:
-х⁴у³ -2х³у²+ 5х² = - х²(х² у³ + 2ху² - 5).

Пример 3. Можно ли разделить многочлен 5а⁴ - 10а³ + 15а⁵ на одночлен 5а³? Если да, то выполнить деление.

Решение. В примере 1д) мы получили, что

5а⁴ - 10а³ + 15а⁸ - 5а³(а - 2 + За²).
Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а³, при этом в частном получится а - 2 + За². 
Подобные примеры мы рассматривали в § 18;  просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.
 Разложение многочлена на множители с помо щью вынесения общего множителя за скобки тесно  связано с двумя операциями, которые мы изучали
в § 15 и 18, — с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен.

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2)².

Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:
2x (x - 2) + 5 (x - 2)² = 2ху + 5у².

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у² — у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)( 2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10). 

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х - 2) + 5(х - 2)² = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).

_{Учебники по всему предметам скачать, разработка планов уроков для учителей, Математика для 7 класса онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.