Версия 06:06, 14 июня 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Что такое математическая модель

                        Что такое математическая модель 

Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса.

В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков,

в 7Б — 12 девочек и 12 мальчиков,

в 7В — 9 девочек и 18 мальчиков,

в 7Г — 20 девочек и 10 мальчиков.

Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения:

в 7А 15 + 13 = 28 учеников;
в 7Б 12 +12 = 24 ученика;
в 7В 9 + 18 = 27 учеников;
в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.

Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и b мальчиков, значит, всего учеников а + b. Эту запись а + b называют математической моделью данной реальной ситуации. Алгебра в основном занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом а — число девочек в классе, 6 — число мальчиков в том же классе.

Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к ее математической модели. Не надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях, что и в нашей таблице) такая математическая модель: а - 5 = 6 + 5? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну (эта ситуация имеет место в 7Г из рассмотренного примера).

Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она нам дает, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.

Пример 1. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?

Решение. Пусть х — число мальчиков в классе, тогда 2х — число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (х - 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так:

(х - 3) - (х + 3) = 4.

Это уравнение — математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:

2x-3-x-3 = 4 (раскрыли скобки);
х - 6 = 4 (привели подобные слагаемые);
х = 6 + 4;
х - 10.

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше).

Ответ: всего в классе 30 учеников.
Обратим внимание на следующее обстоятельство: заметили ли вы, что в ходе решения было четкое разделение рассуждений на три этапа?

На первом этапе, введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, мы составили математическую модель — в виде уравнения

(2х - 3) - (x + 3) = 4.

На втором этапе, используя наши знания, мы это уравнение решили, точнее, довели до самого простого вида (х = 10). На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.

На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу.

Подведем итоги. В процессе решения задачи были четко выделены три этапа:

Первый этап. Составление математической модели.
Второй этап. Работа с математической моделью.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Вот так обычно применяется математика к реальной действительности. После рассмотренного примера повторим вопрос: как вы думаете, нужны ли математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны! Разумеется, чем сложнее модель, тем больше фактов, правил, свойств приходится применять для ее упрощения. Эти факты, правила, свойства надо изучить, что мы и будем с вами делать.

Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в нашей таблице, или в виде уравнения, как было в примере 1). Для знакомства еще с одним видом математической модели возьмем задачу из учебника математики для 6 класса (специально берем задачу, с которой вы уже встречались).

Пример 2. Построить график температуры воздуха, если известно, что температуру измеряли в течение суток и по результатам измерения составили следующую таблицу:

Решение. Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать значения времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы.

Всего получается 12 точек (рис. 1). Соединив их плавной линией, получим один из возможных графиков температуры (рис. 2). 

Построенный график есть математическая модель, описывающая зависимость температуры от времени. Анализируя этот график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток. Ночью с 0 ч до 8 ч утра становилось все холоднее (от 5° в 0 ч до - 4° в 8 ч утра).

Потом, видимо, выглянуло солнышко и стало теплеть, так что в 11 ч температура была уже не отрицательной, а нулевой ( 0°). До 16 ч теплело, причем в 16 ч было теплее всего (8°). А затем стало темнеть, температура начала постепенно снижаться и понизилась до 3° в 22 ч. Глядя на график температуры, можно определить, какая была наименьшая температура (- 4° в 8 ч утра), какая была наибольшая температура (8° в 16 ч), где температура менялась быстрее, где медленнее.

Рассмотренную математическую модель называют графической моделью. Итак, нам нужно учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая модель), графически (графическая модель). Бывают еще геометрические модели реальных ситуаций — они изучаются в курсе геометрии. Впрочем, графические модели также иногда называют геометрическими, а вместо термина «алгебраическая модель» употребляют термин «аналитическая модель».

Все это — виды математических моделей.

_{Планирование уроков по математике онлайн, задачи и ответы по классам, домашнее задание по математике 7 класса скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.