Версия 13:10, 14 июня 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Сложение и вычитание одночленов

                   Сложение и вычитание одночленов

В этой главе мы изучаем новые для вас математические объекты — одночлен. Образно говоря, если для математического языка числа, переменные и степени переменных являются буквами, то одночлены — слогами (когда в детстве вы учились читать, то сначала изучали буквы, затем читали слоги и только потом целиком произносили написанное слово; буквы, слоги, слова, предложения — этапы изучения языка). И тут уже не важно, нравятся вам одночлены как самостоятельный объект изучения или нет, ничего не поделаешь — без уверенного владения ими нам не обойтись, если мы хотим свободно владеть математическим языком.

Как только математики вводят новое понятие, они начинают думать, как с ним работать. И мы с вами в главе 2 поступали точно так же. Вспомните: мы ввели понятие степени с натуральным показателем, но разве ограничились этим? Нет, мы выяснили, как степени перемножать, как делить, как возводить в другую степень.

В § 9 мы ввели понятия одночлена, стандартного вида одночлена. Значит, надо думать о том, как работать с одночленами, как, например, выполнять над ними арифметические операции.

При этом сразу договоримся, что будем рассматривать только одночлены, записанные в стандартном виде.

Определение. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях (т. е. с равными показателями степеней), называют подобными одночленами.

Примеры подобных одночленов:

Как видите, подобные одночлены отличаются друг от друга только коэффициентами (впрочем, и коэффициенты могут быть равны, например, 7аb и 7аb — подобные одночлены).

А вот примеры неподобных одночленов:

Слово «подобные» имеет примерно тот же смысл, что в обыденной речи слово «похожие». Согласитесь, что одночлены 5a²b и 23а²b похожи друг на друга (подобные одночлены), тогда как одночлены 5а²b и 23аb² непохожи друг на друга (неподобные одночлены).

Рассмотрим сумму двух подобных одночленов:

bа^₂b + 23a²b. Воспользуемся методом введения новой переменной: положим a²b = с. Тогда сумму bа²b + 23a²b перепишем в виде 5с + 23с. Ясно, что эта сумма равна 28с. Итак, bа²Ь + 23a²b = 28a²b.

Нам удалось сложить подобные одночлены; оказалось, что это очень просто: достаточно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить неизменной. Так же обстоит дело и с вычитанием подобных одночленов. Например,

7аbс³ - 9аЬс³ = (7 - 9)abc³ = - 2аЬс³.

А как быть, если одночлены неподобны: можно ли их складывать, вычитать? Увы, нельзя! Складывать неподобные одночлены все равно, что в арифметической задаче складывать часы с километрами. Разумеется, между неподобными одночленами, на пример 5а и 7b, можно поставить знак сложения, т. е. написать 5a + 7b, но дальше этого нам продвинуться не удастся.

Как мы уже подчеркивали, математики — люди четкие, организованные, они любят действовать по определенной программе. Обычно употребляется термин алгоритм, это слово как раз и означает программу действий, четко определенный порядок ходов. Например, придя в магазин за хлебом, вы практически всегда действуете по следующему алгоритму:

1. Подходите к прилавку и смотрите, какой хлеб имеется в продаже.
2. Становитесь в очередь в кассу.
3. Получаете чек.
4. Меняете чек на хлеб.
5. Кладете хлеб в сумку
6. Идете домой.

Сейчас мы сформулируем алгоритм сложения одночленов.

Алгоритм сложения (вычитания) одночленов

Пример 1. Упростить выражение
2а²b - 7а • 0.5Ьа + Зb • 2a • (- 0,5с).

Решение. Речь идет о сложении и вычитании одночленов, значит, будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1) Первый одночлен уже имеет стандартный вид.

Для второго одночлена имеем:
7а • 0,5bа = (7 • 0,5) • (a • а)b = 3,5a²b
— это стандартный вид.

Приведем к стандартному виду третий одночлен:
Зb • 2а • (- 0,5а) = 3 • 2 • (- 0,5) • (a • а)b=  - Зa²b.

2) Получили три одночлена: 2а²Ь, 3,5a²b, - Зa²b.
Они подобны, поэтому с ними можно производить дальнейшие действия, т. е. можно переходить к третьему шагу алгоритма.

3) Выполним действия с коэффициентами:
2-3,5-3 =-4,5.
4) Запишем ответ: - 4,5a²b.

Пример 2. Представить одночлен 27ab² в виде суммы одночленов.

Решение. Здесь в отличие от рассмотренных ранее примеров решение не единственно (а разве в жизни во всех случаях вы можете найти единственное решение? Иногда решений несколько, а иногда решения и вовсе нет). Можно написать: и это будет верно. Можно написать:
27ab²=20ab²+7ab²,
что также будет верно. Можно написать так:
27ab² = 15аb² + 12аb²
что также будет верно. Можно написать так:
27ab² = аb² + 26аb²
и даже так:
27ab² = 10ОaЬ² - 73ab².

Можно указать еще ряд решений. Главное, чтобы сумма коэффициентов складываемых подобных одночленов была равна 27.

Кстати, не обязательно составлять сумму двух одночленов (в условии ведь это не оговорено). Значит, можно предложить, например, такое решение:

27ab² = 20ab² + 4ab² + ЗaЬ².
Или такое:
27ab² = 2ab² + 8ab² + 22ab² - 5ab².

Попробуйте сами придумать еще несколько решений примера 2. Мы заканчиваем изучение темы «Сложение и вычитание одночленов». Но вы, наверное, ощущаете какую-то недоговоренность. Мало ли с какими одночленами нам придется иметь дело в дальнейшем, а вдруг среди них будут неподобные. Что делать, если, составляя математическую модель реальной ситуации, мы пришли к выражению, представляющему собой сумму неподобных одночленов, например, 2аЬ + Зa - 5b  Математики нашли выход из положения: такую сумму назвали многочленом, т. е. ввели новое понятие, и научились производить операции над многочленами. Но об этом речь впереди, в главе 4. В заключение настоящего параграфа рассмотрим конкретную задачу, в процессе решения которой приходится складывать одночлены. Это лишний раз убедит вас в том, что в математике просто так ничего не изучается, все, что в ней наработано, применяется в жизни.

Пример 3. Турист шел 2 ч пешком из п. А в п. В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до п. С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до п. D. С какой скоростью ехал турист на автобусе, если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч — скорость пешехода. За 2 ч он пройдет 2х км.
Из условия следует, что скорость катера 4л; км/ч. За 1,5 ч катер пройдет путь 4л; • 1,5 км, т.е. 6х км. Из условия следует, что скорость автобуса равна 2 • 4л; км/ч, т. е. 8х км/ч. За 2 ч автобус проедет 8х • 2 км, т. е. 16л; км. Весь путь от А до D равен: 2л; + 6л; + 16л;, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом, 2л; + 6л; + 16л; = 120. Это — математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной моделью. Сложив одночлены 2л;, 6л;, 16л;, получим 24л;. Значит, 24л; — 120, откуда находим: х - 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т. е. 20 км/ч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т. е. 40 км/ч.
Ответ: скорость автобуса 40 км/ч.

_{Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.