Версия 08:59, 15 июня 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Прямая пропорциональность и ее график

                   Прямая пропорциональность и её график

Среди линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; в этом случае линейная функция принимает вид у = kx и ее называют прямой пропорциональностью. Это название объясняется тем, что две величины у и х называют прямо пропорциональными, если их отношение равно конкретному
числу, отличному от нуля. Здесь, это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Многие реальные ситуации моделируются с помощью прямой пропорциональности.

Например, путь s и время t при постоянной скорости, 20 км/ч связаны зависимостью s = 20t; это — прямая пропорциональность, причем k = 20.

Другой пример:

стоимость у и число х батонов хлеба по цене 5 руб. за батон связаны зависимостью у = 5х; это — прямая пропорциональность, где k = 5.

Доказательство. Осуществим его в два этапа.
1. у = kx — частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая; обозначим ее через I.
2. Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у — kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I.

Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана.

Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической (графику прямой пропорциональности), но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображенную на рисунке 50. Она является графиком прямой пропорцио-
нальности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как у , то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем: Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком прямой пропорциональности у = 2х.

График линейной функции у = kx обычно строят так: берут точку (1; k) (если х = 1, то из равенства у = kx находим, что у = k) и проводят прямую через эту точку и начало координат. Впрочем, в случае необходимости точку (1; k) можно заменить другой точкой, более удобной. На рисунке 51 изображены графики линейных функций

Обратите внимание: от коэффициента пропорциональности зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси х. Если k > О, то этот угол острый (так обстоит дело на рис. 51 с прямыми l₁ l₂, 1₃); если k < 0, то этот угол тупой (так обстоит дело на рис. 51 с прямой I₄). Далее, если k > О, то чем больше k, тем больше угол. Так, на рисунке 51 для прямой I₃ имеем , для прямой I₁ имеем k = 1, для прямой I₂ имеем k = 2; при увеличении коэффициента k увеличивается и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Поэтому коэффициент k в записи у = kx называют не только коэффициентом прямой пропорциональности, но и угловым коэффициентом.

На рисунке 52 изображены графики линейных функций у = 2х - 4, у = 2х + 6. Оба они параллельны графику прямой

пропорциональности у = 2х, только первая прямая (у = 2х - 4) получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масштаба, а вторая прямая(у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х сдвигом вверх на 6 единиц масштаба.

Справедлив следующий общий результат, который мы оформим в виде теоремы.

Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k>0, то прямая у = kx + m образует с положительным направлением оси х острый угол (рис. 49, а), а если k < О, — тупой угол (рис. 49, б).

_{Планирование математике, материалы по математике 7 класса скачать, учебники онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.