Версия 05:15, 18 июня 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Признак параллельности прямых

'           '     Параллельность прямых

Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть прямые а и b образуют с секущей АВ равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые а и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С (рис. 73, б).

Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка С. Построим треугольник ВАС₁, равный треугольнику ABC, с вершиной С₁ в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных а, b и секущей АВ равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и ВАС с вершинами A и В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащми углами. Значит, прямая АС₁ совпадает с прямой а, а прямая ВС₁ совпадает с прямой b. Получается, что через точки С и C₁ проходят две различные прямые а и b. А это невозможно. Значит, прямые а и b параллельны.

Если у прямых а и b и секущей АВ сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые а и b параллельны. Теорема доказана, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей.

Углы 1 и 2 на рисунке 74 внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 3 соответственные.

Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны.

Задача (8). Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.

Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка В лежит в одной из них. Отложим от полупрямой СА в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые АВ и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей АС углы ВАС и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые АВ и CD параллельны.

Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.