Формулы сокращенного умножения

KNOWLEDGE HYPERMARKET

 		Версия 09:01, 8 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Текущая версия на 19:36, 14 июня 2012 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
 
		
Строка 1:
Строка 1:
- <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему,  Формулы сокращенного умножения</metakeywords>   + <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему,  Формулы сокращенного умножения, многочлен, двучлен, разность кубов</metakeywords>  
  
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика: Формулы сокращенного умножения'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика: Формулы сокращенного умножения'''  
Строка 7:
Строка 7:
 <br>    <br>  
  
- &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; '''ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ '''   + &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; '''Формулы сокращенного умножения'''  
  
- <br>Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. <br>  
  
- <br>'''1. Квадрат суммы и квадрат разности: '''<br>Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)<sup>2</sup>. + Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один '''[[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки. Задачі та вправи|многочлен]]''' на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. <br>  
  
- Имеем: <br>(а + b)<sup>2</sup> = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а<sup>2</sup> + аЬ + аЬ + b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + 2аЬ + b<sup>2</sup>.   + <br><u>'''1. Квадрат суммы и квадрат разности:'''</u> 
  +  
  + <br>Умножим '''[[Практикум до уроку «Квадрат двочлена»|двучлен]]''' а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)<sup>2</sup>. 
  +  
  + Имеем: 
  +  
  + (а + b)<sup>2</sup> = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а<sup>2</sup> + аЬ + аЬ + b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + 2аЬ + b<sup>2</sup>.  
  
 Аналогично получаем:    Аналогично получаем:  
Строка 21:
Строка 26:
 Итак,    Итак,  
  
- [[Image:08-06-16.jpg]]<br><br>На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.   + [[Image:08-06-16.jpg|480px|Квадрат суммы (разности)]]<br><br>На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — '''[[Практичні завдання до теми Різниця квадратів|квадрат разности]]'''.  
  
 '''Пример 1.''' Раскрыть скобки в выражении:    '''Пример 1.''' Раскрыть скобки в выражении:  
Строка 47:
Строка 52:
 Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле    Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле  
  
- 71<sup>2</sup> = (70 + 1)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> + 2 • 70 • 1 + I<sup>2</sup> = 4900 + 140 + 1 = 5041; <br>91<sup>2</sup> = (90 + I)<sup>2</sup><sup></sup>= 90<sup>2</sup> + 2 • 90 • 1 + I<sup>2</sup> = 8100 + 180 + 1 = 8281; <br>69<sup>2</sup> = (70 - I)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> - 2 • 70 • 1 + I<sup>2</sup> = 4900 - 140 + 1 = 4761. <br>   + 71<sup>2</sup> = (70 + 1)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> + 2 • 70 • 1 + 1<sup>2</sup> = 4900 + 140 + 1 = 5041; <br>91<sup>2</sup> = (90 + I)<sup>2</sup><sup></sup>= 90<sup>2</sup> + 2 • 90 • 1 + 1<sup>2</sup> = 8100 + 180 + 1 = 8281; <br>69<sup>2</sup> = (70 - I)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> - 2 • 70 • 1 + 1<sup>2</sup> = 4900 - 140 + 1 = 4761. <br>  
  
 Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например, <br>    Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например, <br>  
Строка 61:
Строка 66:
 85<sup>2</sup> = (80 + 5)<sup>2</sup> = 80<sup>2</sup> + 2• 80 • 5 + 5<sup>2</sup> =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. <br>    85<sup>2</sup> = (80 + 5)<sup>2</sup> = 80<sup>2</sup> + 2• 80 • 5 + 5<sup>2</sup> =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. <br>  
  
- Замечаем, что для вычисления 85<sup>2</sup> достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35<sup>2</sup> = 1225&nbsp; (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25); <br>65<sup>2</sup> = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). <br>   + Замечаем, что для вычисления 85<sup>2</sup> достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35<sup>2</sup> = 1225&nbsp; (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);  
  +  
  + 65<sup>2</sup> = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). <br>  
  
 Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4). <br>    Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4). <br>  
Строка 67:
Строка 74:
 <br>    <br>  
  
- [[Image:08-06-17.jpg]]<br>   + [[Image:08-06-17.jpg|240x240px|Квадрат]]<br>  
  
- <br>Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)<sup>2</sup>. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его <br>площадь равна а<sup>2</sup>), квадрат со стороной b (его площадь равна b<sup>2</sup>), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + 2аb, т. е. получили формулу (1). <br>   + <br>Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)<sup>2</sup>. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а<sup>2</sup>), квадрат со стороной b (его площадь равна b<sup>2</sup>), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + 2аb, т. е. получили формулу (1). <br>  
  
 <br>'''2. Разность квадратов '''<br>    <br>'''2. Разность квадратов '''<br>  
Строка 75:
Строка 82:
 Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим: <br>(а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - аb + bа - b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. <br>Итак<br>    Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим: <br>(а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - аb + bа - b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. <br>Итак<br>  
  
- [[Image:08-06-18.jpg]]<br><br>Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. <br>правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение <br>(а + b) (а - b) готовым результатом а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.   + <br> 
  +  
  + [[Image:08-06-18.jpg|480px|Разность квадратов]]<br><br>Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.  
  
 '''''Замечание.''''' Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>,&nbsp; значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это&nbsp; (a- b)<sup>2</sup>, значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так: <br>    '''''Замечание.''''' Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>,&nbsp; значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это&nbsp; (a- b)<sup>2</sup>, значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так: <br>  
Строка 89:
Строка 98:
 Решение. Имеем: 16x<sup>4</sup> =(4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>, 9 = З<sup>2</sup>, значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим: <br>    Решение. Имеем: 16x<sup>4</sup> =(4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>, 9 = З<sup>2</sup>, значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим: <br>  
  
- 16x<sup>4</sup> - 9 = (4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>- З<sup>2</sup> = (4x<sup>2</sup> + 3)(4x<sup>2</sup> - 3) <br>Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите: <br> + 16x<sup>4</sup> - 9 = (4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>- З<sup>2</sup> = (4x<sup>2</sup> + 3)(4x<sup>2</sup> - 3)  
  
- 79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; <br>42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. <br>Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа, причем а &gt; b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно <br>построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой + <br>Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите: <br>  
  
- <br>   + 79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; <br>42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. 
  
- [[Image:08-06-19.jpg]] + <br>Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа, причем а &gt; b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно <br>построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Итак, (а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>, т. е. получили формулу (3).  
  
- <br>фигуры равна а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Итак, (а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>, т. е. получили формулу (3). + <br>  
  +  
  + [[Image:08-06-19.jpg|480px|Прямоугольник, квадрат]] 
  
 <br>'''3. Разность кубов и сумма кубов '''    <br>'''3. Разность кубов и сумма кубов '''  
Строка 103:
Строка 114:
 Умножим двучлен а - b на трехчлен а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>. <br>Получим: <br>(a - b) (а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>) = а • а<sup>2</sup> + а • ab + а • b<sup>2</sup> - b • а<sup>2</sup> - b • аb -b•b<sup>2</sup> = а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup>b + аb<sup>2</sup>-а<sup>2</sup>b-аb<sup>2</sup>-b<sup>3</sup> = а<sup>3</sup>-b<sup>3</sup>.    Умножим двучлен а - b на трехчлен а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>. <br>Получим: <br>(a - b) (а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>) = а • а<sup>2</sup> + а • ab + а • b<sup>2</sup> - b • а<sup>2</sup> - b • аb -b•b<sup>2</sup> = а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup>b + аb<sup>2</sup>-а<sup>2</sup>b-аb<sup>2</sup>-b<sup>3</sup> = а<sup>3</sup>-b<sup>3</sup>.  
  
- Аналогично <br>(а + b) (а<sup>2</sup> - аb + b<sup>2</sup>) = а<sup>3</sup> + b<sup>3</sup> <br>(проверьте это сами). <br>Итак,   + Аналогично  
  +  
  + (а + b) (а<sup>2</sup> - аb + b<sup>2</sup>) = а<sup>3</sup> + b<sup>3</sup>  
  +  
  + (проверьте это сами). Итак,  
  
 <br>    <br>  
  
- [[Image:08-06-20.jpg]]   + [[Image:08-06-20.jpg|480px|разность и сумма кубов]]  
  
- <br>Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу( 5) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)<sup>2</sup>; выражение + <br>Формулу (4) обычно называют '''[[Різниця і сума кубів двох виразів|разностью кубов]]''', формулу( 5) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)<sup>2</sup>; выражение а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)<sup>2</sup>. 
  
- а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)<sup>2</sup>. <br>Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup> называют полным квадратом (суммы <br>или разности), а каждое из выражений а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий пе- <br>ревод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:   + Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup> называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:  
  
- '''''разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.''''' + '''''разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.'''''  
  
 Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1 )-(5) — формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) — формулы разложения на множители.    Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1 )-(5) — формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) — формулы разложения на множители.  
Строка 123:
Строка 138:
 (2х - 1)( 4x<sup>2</sup> + 2х + 1) = (2x)<sup>3</sup> - I<sup>3</sup> = 8x<sup>3</sup> - 1.    (2х - 1)( 4x<sup>2</sup> + 2х + 1) = (2x)<sup>3</sup> - I<sup>3</sup> = 8x<sup>3</sup> - 1.  
  
- '''Пример 5.''' Представить двучлен 27а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> в виде произведения многочленов. <br>Решение. Имеем: 27а<sup>6</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup>, 8b<sup>3</sup> =(2b)<sup>3</sup>. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим: + '''Пример 5.''' Представить двучлен 27а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> в виде произведения многочленов.  
  
- 27а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup> + (2b)<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup> + 2Ь) ((За<sup>2</sup>)<sup>2</sup> - За<sup>2</sup> • 2Ь + (2b)<sup>2</sup>) = (За<sup>2</sup> + 2Ь) (9а<sup>4</sup> - 6а<sup>2</sup>Ь + 4b<sup>2</sup>). <br><br><br>   + Решение. Имеем: 27а<sup>6</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup>, 8b<sup>3</sup> =(2b)<sup>3</sup>. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим: 
  +  
  + 27а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup> + (2b)<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup> + 2Ь) ((За<sup>2</sup>)<sup>2</sup> - За<sup>2</sup> • 2Ь + (2b)<sup>2</sup>) = (За<sup>2</sup> + 2Ь) (9а<sup>4</sup> - 6а<sup>2</sup>Ь + 4b<sup>2</sup>). <br><br>  
  
 <br>    <br>  
  
 <sub>Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 7 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование</sub> <br>    <sub>Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 7 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование</sub> <br>  
  + 
  + <br> 
  + 
  + ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' 
  + 
  + <br> 
  
   '''<u>Содержание урока</u>'''    '''<u>Содержание урока</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                       ''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                       '''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас    +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
         
   '''<u>Практика</u>'''    '''<u>Практика</u>'''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-   +  
   '''<u>Иллюстрации</u>'''    '''<u>Иллюстрации</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа ''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
         
   '''<u>Дополнения</u>'''    '''<u>Дополнения</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                            +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
   '''<u></u>'''    '''<u></u>'''
   <u>Совершенствование учебников и уроков    <u>Совершенствование учебников и уроков
-   </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике''' +   </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми   +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-   +  
   '''<u>Только для учителей</u>'''    '''<u>Только для учителей</u>'''
-   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки ''' +   <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год    +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации    +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения +   [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
         
         
Текущая версия на 19:36, 14 июня 2012
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Формулы сокращенного умножения 

 

 
                           Формулы сокращенного умножения 


Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. 
 

1. Квадрат суммы и квадрат разности: 

Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)². 
Имеем: 
(а + b)² = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а² + аЬ + аЬ + b² = а² + 2аЬ + b². 
Аналогично получаем: 
(a - b)² = (а-b)(а-b) = а²-аb-bа + b² = а²- 2аb + b². 
Итак, 


На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности. 
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении: 
а) (Зх + 2)²; 
б) ( 5а² - 4b³)² 
Решение. 
а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b — число 2. 
Получим: 
(Зх + 2)² = (Зх)²+ 2 • Зх • 2 + 2² = 9x² + 12x + 4. 
б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли а выступает5а², а в ролиb выступает 4b³. Получим: 
(5а²-4b³)²= (5а²)² - 2- 5a² • 4b³ + (4b³)²= 25a⁴-40a²b³ + 16b⁶. 
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что 
(- a - b)² = (а + b)²; 
( b-a )²= ( a-b )². 
Это следует из того, что (- а)² = а². 
Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. 
Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле 
71² = (70 + 1)² = 70² + 2 • 70 • 1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041; 
91² = (90 + I)²= 90² + 2 • 90 • 1 + 1² = 8100 + 180 + 1 = 8281; 
69² = (70 - I)² = 70² - 2 • 70 • 1 + 1² = 4900 - 140 + 1 = 4761. 
 
Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например, 
 
102² = (100 + 2)² = 100² + 2 • 100 • 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404; 
 
48² = (50 - 2)²= 50² - 2 • 50 • 2 + 2² = 2500 - 200 + 4 = 2304. 
 
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. 
Проведем соответствующие рассуждения для 85². 
 
Имеем: 
 
85² = (80 + 5)² = 80² + 2• 80 • 5 + 5² =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. 
 
Замечаем, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35² = 1225  (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25); 
65² = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). 
 
Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4). 
 

 

 

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)². Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а²), квадрат со стороной b (его площадь равна b²), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)² = а² + b² + 2аb, т. е. получили формулу (1). 
 

2. Разность квадратов 
 
Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим: 
(а + b) (а - b) = а² - аb + bа - b² = а² - b². 
Итак
 

 


Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а² - b². Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а² - b² произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов. 
Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а² - b²,  значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это  (a- b)², значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так: 
 
 разность квадратов двух чисел (выражений)  равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,
 
Пример 2. Выполнить умножение 
 
(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем: 
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx)² - (2у)² = 9x² - 4y². 
 
Пример 3. Представить двучлен 16x⁴ - 9 в виде произведения двучленов. 
 
Решение. Имеем: 16x⁴ =(4x²)², 9 = З², значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим: 
 
16x⁴ - 9 = (4x²)²- З² = (4x² + 3)(4x² - 3) 

Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите: 
 
79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; 
42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. 

Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно 
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а² - b². Итак, (а + b) (а - b) = а² - b², т. е. получили формулу (3). 

 
 

3. Разность кубов и сумма кубов  
Умножим двучлен а - b на трехчлен а² + ab + b². 
Получим: 
(a - b) (а² + ab + b²) = а • а² + а • ab + а • b² - b • а² - b • аb -b•b² = а³ + а²b + аb²-а²b-аb²-b³ = а³-b³. 
Аналогично 
(а + b) (а² - аb + b²) = а³ + b³ 
(проверьте это сами). Итак, 

 
 

Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу( 5) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a² + ab + b² похоже на выражение а² + 2ab + b², которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)²; выражение а² - ab + b² похоже на выражение а² - 2ab + b², которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)². 
Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а² + 2ab + b² и а² - 2ab + b² называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а² + ab + b² и а² - ab + b² называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык: 
разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности. 
Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1 )-(5) — формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) — формулы разложения на множители. 
Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x² + 2х +1). 
Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим: 
(2х - 1)( 4x² + 2х + 1) = (2x)³ - I³ = 8x³ - 1. 
Пример 5. Представить двучлен 27а⁶ + 8b³ в виде произведения многочленов. 
Решение. Имеем: 27а⁶ = (За²)³, 8b³ =(2b)³. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим: 
27а⁶ + 8b³ = (За²)³ + (2b)³ = (За² + 2Ь) ((За²)² - За² • 2Ь + (2b)²) = (За² + 2Ь) (9а⁴ - 6а²Ь + 4b²). 

 

 
_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 7 класса скачать, календарно-тематическое планирование} 
 

 
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D1%81%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему,  Формулы сокращенного умножения</metakeywords>
+<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему,  Формулы сокращенного умножения, многочлен, двучлен, разность кубов</metakeywords>
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика: Формулы сокращенного умножения'''
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 <br>
-&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; '''ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ '''
+&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; '''Формулы сокращенного умножения'''
-<br>Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. <br>
-<br>'''1. Квадрат суммы и квадрат разности: '''<br>Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)<sup>2</sup>.
+Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один '''[[Розклад многочленів на множники. Винесення спільного множника за дужки. Задачі та вправи|многочлен]]''' на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. <br>
-Имеем: <br>(а + b)<sup>2</sup> = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а<sup>2</sup> + аЬ + аЬ + b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + 2аЬ + b<sup>2</sup>.
+<br><u>'''1. Квадрат суммы и квадрат разности:'''</u>
+<br>Умножим '''[[Практикум до уроку «Квадрат двочлена»|двучлен]]''' а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)<sup>2</sup>.
+Имеем:
+(а + b)<sup>2</sup> = (а + b) (а + b) = а • а + а • b + b • a + b • b = = а<sup>2</sup> + аЬ + аЬ + b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + 2аЬ + b<sup>2</sup>.
 Аналогично получаем:
@@ Строка 21: / Строка 26: @@
 Итак,
-[[Image:08-06-16.jpg]]<br><br>На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности.
+[[Image:08-06-16.jpg|480px|Квадрат суммы (разности)]]<br><br>На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоенное произведение. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — '''[[Практичні завдання до теми Різниця квадратів|квадрат разности]]'''.
 '''Пример 1.''' Раскрыть скобки в выражении:
@@ Строка 47: / Строка 52: @@
 Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле
-<sup>2</sup> = (70 + 1)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> + 2 • 70 • 1 + I<sup>2</sup> = 4900 + 140 + 1 = 5041; <br>91<sup>2</sup> = (90 + I)<sup>2</sup><sup></sup>= 90<sup>2</sup> + 2 • 90 • 1 + I<sup>2</sup> = 8100 + 180 + 1 = 8281; <br>69<sup>2</sup> = (70 - I)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> - 2 • 70 • 1 + I<sup>2</sup> = 4900 - 140 + 1 = 4761. <br>
+<sup>2</sup> = (70 + 1)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> + 2 • 70 • 1 + 1<sup>2</sup> = 4900 + 140 + 1 = 5041; <br>91<sup>2</sup> = (90 + I)<sup>2</sup><sup></sup>= 90<sup>2</sup> + 2 • 90 • 1 + 1<sup>2</sup> = 8100 + 180 + 1 = 8281; <br>69<sup>2</sup> = (70 - I)<sup>2</sup> = 70<sup>2</sup> - 2 • 70 • 1 + 1<sup>2</sup> = 4900 - 140 + 1 = 4761. <br>
 Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например, <br>
@@ Строка 61: / Строка 66: @@
 <sup>2</sup> = (80 + 5)<sup>2</sup> = 80<sup>2</sup> + 2• 80 • 5 + 5<sup>2</sup> =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. <br>
-Замечаем, что для вычисления 85<sup>2</sup> достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35<sup>2</sup> = 1225&nbsp; (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25); <br>65<sup>2</sup> = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). <br>
+Замечаем, что для вычисления 85<sup>2</sup> достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35<sup>2</sup> = 1225&nbsp; (3 • 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);
+<sup>2</sup> = 4225; 1252 = 15625 (12• 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). <br>
 Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4). <br>
@@ Строка 67: / Строка 74: @@
 <br>
-[[Image:08-06-17.jpg]]<br>
+[[Image:08-06-17.jpg|240x240px|Квадрат]]<br>
-<br>Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)<sup>2</sup>. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его <br>площадь равна а<sup>2</sup>), квадрат со стороной b (его площадь равна b<sup>2</sup>), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + 2аb, т. е. получили формулу (1). <br>
+<br>Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)<sup>2</sup>. Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а<sup>2</sup>), квадрат со стороной b (его площадь равна b<sup>2</sup>), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b)<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + 2аb, т. е. получили формулу (1). <br>
 <br>'''2. Разность квадратов '''<br>
@@ Строка 75: / Строка 82: @@
 Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим: <br>(а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - аb + bа - b<sup>2</sup> = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. <br>Итак<br>
-[[Image:08-06-18.jpg]]<br><br>Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. <br>правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение <br>(а + b) (а - b) готовым результатом а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.
+<br>
+[[Image:08-06-18.jpg|480px|Разность квадратов]]<br><br>Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название — разность квадратов.
 '''''Замечание.''''' Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>,&nbsp; значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности — это&nbsp; (a- b)<sup>2</sup>, значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так: <br>
@@ Строка 89: / Строка 98: @@
 Решение. Имеем: 16x<sup>4</sup> =(4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>, 9 = З<sup>2</sup>, значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим: <br>
-x<sup>4</sup> - 9 = (4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>- З<sup>2</sup> = (4x<sup>2</sup> + 3)(4x<sup>2</sup> - 3) <br>Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите: <br>
+x<sup>4</sup> - 9 = (4x<sup>2</sup>)<sup>2</sup>- З<sup>2</sup> = (4x<sup>2</sup> + 3)(4x<sup>2</sup> - 3)
-• 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; <br>42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. <br>Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа, причем а &gt; b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно <br>построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой
+<br>Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите: <br>
-<br>
+• 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; <br>42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
-[[Image:08-06-19.jpg]]
+<br>Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b — положительные числа, причем а &gt; b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно <br>построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Итак, (а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>, т. е. получили формулу (3).
-<br>фигуры равна а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>. Итак, (а + b) (а - b) = а<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>, т. е. получили формулу (3).
+<br>
+[[Image:08-06-19.jpg|480px|Прямоугольник, квадрат]]
 <br>'''3. Разность кубов и сумма кубов '''
@@ Строка 103: / Строка 114: @@
 Умножим двучлен а - b на трехчлен а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>. <br>Получим: <br>(a - b) (а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>) = а • а<sup>2</sup> + а • ab + а • b<sup>2</sup> - b • а<sup>2</sup> - b • аb -b•b<sup>2</sup> = а<sup>3</sup> + а<sup>2</sup>b + аb<sup>2</sup>-а<sup>2</sup>b-аb<sup>2</sup>-b<sup>3</sup> = а<sup>3</sup>-b<sup>3</sup>.
-Аналогично <br>(а + b) (а<sup>2</sup> - аb + b<sup>2</sup>) = а<sup>3</sup> + b<sup>3</sup> <br>(проверьте это сами). <br>Итак,
+Аналогично
+(а + b) (а<sup>2</sup> - аb + b<sup>2</sup>) = а<sup>3</sup> + b<sup>3</sup>
+(проверьте это сами). Итак,
 <br>
-[[Image:08-06-20.jpg]]
+[[Image:08-06-20.jpg|480px|разность и сумма кубов]]
-<br>Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу( 5) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)<sup>2</sup>; выражение
+<br>Формулу (4) обычно называют '''[[Різниця і сума кубів двох виразів|разностью кубов]]''', формулу( 5) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b)<sup>2</sup>; выражение а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)<sup>2</sup>.
-а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> похоже на выражение а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup>, которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b)<sup>2</sup>. <br>Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup> называют полным квадратом (суммы <br>или разности), а каждое из выражений а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий пе- <br>ревод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:
+Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup> называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> и а<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:
 '''''разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.'''''
 Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1 )-(5) — формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) — формулы разложения на множители.
@@ Строка 123: / Строка 138: @@
 (2х - 1)( 4x<sup>2</sup> + 2х + 1) = (2x)<sup>3</sup> - I<sup>3</sup> = 8x<sup>3</sup> - 1.
-'''Пример 5.''' Представить двучлен 27а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> в виде произведения многочленов. <br>Решение. Имеем: 27а<sup>6</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup>, 8b<sup>3</sup> =(2b)<sup>3</sup>. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:
+'''Пример 5.''' Представить двучлен 27а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> в виде произведения многочленов.
-а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup> + (2b)<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup> + 2Ь) ((За<sup>2</sup>)<sup>2</sup> - За<sup>2</sup> • 2Ь + (2b)<sup>2</sup>) = (За<sup>2</sup> + 2Ь) (9а<sup>4</sup> - 6а<sup>2</sup>Ь + 4b<sup>2</sup>). <br><br><br>
+Решение. Имеем: 27а<sup>6</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup>, 8b<sup>3</sup> =(2b)<sup>3</sup>. Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:
+а<sup>6</sup> + 8b<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup>)<sup>3</sup> + (2b)<sup>3</sup> = (За<sup>2</sup> + 2Ь) ((За<sup>2</sup>)<sup>2</sup> - За<sup>2</sup> • 2Ь + (2b)<sup>2</sup>) = (За<sup>2</sup> + 2Ь) (9а<sup>4</sup> - 6а<sup>2</sup>Ь + 4b<sup>2</sup>). <br><br>
 <br>
 <sub>Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 7 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование</sub> <br>
+<br>
+''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''
+<br>
   '''<u>Содержание урока</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                       '''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                       '''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии
   '''<u>Практика</u>'''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
   '''<u>Иллюстрации</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   '''<u>Дополнения</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие
   '''<u></u>'''
   <u>Совершенствование учебников и уроков
-  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми
   '''<u>Только для учителей</u>'''
-  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: