Версия 15:18, 7 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Сложение и вычитание одночленов

                                                   СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ

В этой главе мы изучаем новые для вас математические объекты — одночлены. Образно говоря, если для математического языка числа, переменные и степени переменных являются буквами, то одночлены — слогами (когда в детстве вы учились читать, то сначала изучали буквы, затем читали слоги и только
потом целиком произносили написанное слово; буквы, слоги, слова, предложения — этапы изучения языка). И тут уже не важно, нравятся вам одночлены как самостоятельный объект изучения или нет, ничего не поделаешь — без уверенного владения ими нам не обойтись, если мы хотим свободно владеть математическим языком.
Как только математики вводят новое понятие, они начинают думать, как с ним работать. И мы с вами в главе 2 поступали точно так же. Вспомните: мы ввели понятие степени с натуральным показателем, но разве ограничились этим? Нет, мы выяснили, как степени перемножать, как делить, как возводить в дру-
гую степень.
В § 9 мы ввели понятия одночлена, стандартного вида одночлена. Значит, надо думать о том, как работать с одночленами, как, например, выполнять над ними арифметические операции.
При этом сразу договоримся, что будем рассматривать только одночлены, записанные в стандартном виде.

Определение. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях
(т. е. с равными показателями степеней), называют подобными одночленами.
Примеры подобных одночленов:
Файл:07-06-121.jpg
Как видите, подобные одночлены отличаются друг от друга только коэффициентами (впрочем, и коэффициенты могут быть равны, например, 7аb и 7аb — подобные одночлены).
А вот примеры неподобных одночленов:
Файл:07-06-122.jpg
Слово «подобные» имеет примерно тот же смысл, что в обы-
денной речи слово «похожие». Согласитесь, что одночлены Ъа2Ъ и
23а2Ь похожи друг на друга (подобные одночлены), тогда как од-
ночлены Ъа2Ь и 23аЪ2 непохожи друг на друга (не-
подобные одночлены).
Рассмотрим сумму двух подобных одночленов:
Ъа2Ъ + 23a2b. Воспользуемся методом введения но-
вой переменной: положим a2b = с. Тогда сумму
Ъа2Ъ + 23a2b перепишем в виде 5с + 23с. Ясно, что
эта сумма равна 28с. Итак, Ъа2Ь + 23a2b = 28a2b.
Нам удалось сложить подобные одночлены;
оказалось, что это очень просто: достаточно сло-
жить их коэффициенты, а буквенную часть оста-
вить неизменной. Так же обстоит дело и с вычита-
нием подобных одночленов. Например,
7аЪс3 - 9аЬс3 = G - 9)cbc3 - - 2аЬс3.
А как быть, если одночлены неподобны: можно ли их склады-
вать, вычитать? Увы, нельзя! Складывать неподобные одночлены
все равно, что в арифметической задаче складывать часы с кило-
метрами. Разумеется, между неподобными одночленами, на
пример Ъа и 1Ь, можно поставить знак сложения, т. е. написать
5с + 7Ь, но дальше этого нам продвинуться не удастся.
Как мы уже подчеркивали, математики —
люди четкие, организованные, они любят действо-
вать по определенной программе. Обычно употребля-
ется термин алгоритм, это слово как раз и означает
программу действий, четко определенный порядок
ходов. Например, придя в магазин за хлебом, вы
практически всегда действуете по следующему ал-
горитму:
1. Подходите к прилавку и смотрите, какой хлеб имеется в
продаже.
2. Становитесь в очередь в кассу.
3. Получаете чек.
4. Меняете чек на хлеб.
5. Кладете хлеб в сумку
6. Идете домой.
Сейчас мы сформулируем алгоритм сложения одночленов.
42
43
Алгоритм сложения (вычитания) одночленов
ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
1. Привести все одночлены к стандартному виду.
2. Убедиться, что все одночлены подобны; если же они
неподобны, то складывать (вычитать) их нельзя, т.е.
алгоритм далее не применяется.
3. Сложить (вычесть) коэффициенты подобных одно-
членов.
4. Записать ответ: одночлен, подобный данным, с ко-
эффициентом, полученным на третьем шаге.
Пример 1. Упростить выражение
2а2Ъ - 1а • О.ЬЬа + ЗЬ • 2с • (- 0,5с).
Решение. Речь идет о сложении и вычитании одночленов,
значит, будем действовать в соответствии с алгоритмом.
1) Первый одночлен уже имеет стандартный
вид.
Для второго одночлена имеем:
7а • 0,5Ъа = G • 0,5) • (с • а)Ъ = 3,5с2Ь
— это стандартный вид.
Приведем к стандартному виду третий одно-
член:
ЗЬ • 2а • (- 0,5а) = 3 • 2 • (- 0,5) • (с • а)Ъ - - Зс2Ь.
2) Получили три одночлена: 2а2Ь, 3,5с2Ь, - Зс2Ь.
Они подобны, поэтому с ними можно производить
дальнейшие действия, т. е. можно переходить к
третьему шагу алгоритма.
3) Выполним действия с коэффициентами:
2-3,5-3 =-4,5.
4) Запишем ответ: - 4,5c2b. (H
Пример 2. Представить одночлен 27ab2 в виде суммы од-
ночленов.
Решение. Здесь в отличие от рассмотренных ранее приме-
ров решение не единственно (а разве в жизни во всех случаях вы
можете найти единственное решение? Иногда решений несколь-
ко, а иногда решения и вовсе нет). Можно написать:
и это будет верно. Можно написать:
27cb2=15cb2+12cb2,
что также будет верно. Можно написать так:
27cb2 = аЪ2 + 26аЪ2
и даже так:
27cb2 = ЮОсЬ2 - 73cb2.
Можно указать еще ряд решений. Главное, чтобы сумма коэф-
фициентов складываемых подобных одночленов была равна 27.
Кстати, не обязательно составлять сумму двух одночленов (в
условии ведь это не оговорено). Значит, можно предложить, на-
пример, такое решение:
27cb2 = 20cb2 + 4cb2 + ЗсЬ2.
Или такое:
27cb2 = 2cb2 + 8cb2 + 22cb2 - 5cb2. <¦
Попробуйте сами придумать еще несколько решений примера 2.
Мы заканчиваем изучение темы «Сложение и
вычитание одночленов». Но вы, наверное, ощуща-
ете какую-то недоговоренность. Мало ли с какими
одночленами нам придется иметь дело в дальней-
шем, а вдруг среди них будут неподобные. Что
делать, если, составляя математическую модель ре-
альной ситуации, мы пришли к выражению, пред-
ставляющему собой сумму неподобных одночленов,
например, 2аЬ + Зс - ЪЫ Математики нашли выход из положе-
ния: такую сумму назвали многочленом, т. е. ввели новое поня-
тие, и научились производить операции над многочленами. Но об
этом речь впереди, в главе 4.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим конкретную
задачу, в процессе решения которой приходится складывать од-
ночлены. Это лишний раз убедит вас в том, что в математике про-
сто так ничего не изучается, все, что в ней наработано, применя-
ется в жизни.
Пример 3. Турист шел 2 ч пешком из п. А в п. В, затем в В
он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости тури-
ста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до п. С. В С он сел на
автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и
ехал на нем 2 ч до п. D. С какой скоростью ехал турист на автобу-
се, если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — скорость пешехода. За 2 ч он пройдет
2х км.
Из условия следует, что скорость катера 4л; км/ч. За 1,5 ч
катер пройдет путь 4л; • 1,5 км, т.е. 6х км.
Из условия следует, что скорость автобуса равна 2 • 4л; км/ч,
т. е. 8х км/ч. За 2 ч автобус проедет 8х • 2 км, т. е. 16л; км.
Весь путь от А до D равен: 2л; + 6л; + 16л;, что составляет, по
условию, 120 км. Таким образом,
2л; + 6л; + 16л; = 120.
Это — математическая модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Сложив одночлены 2л;, 6л;, 16л;, получим 24л;. Значит,
24л; — 120, откуда находим: х - 5.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Ско-
рость катера в 4 раза больше, т. е. 20 км/ч, а скорость автобуса
еще в 2 раза больше, т. е. 40 км/ч.
Ответ: скорость автобуса 40 км/ч.

_{Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.